肇 庆 学 院 电子信息与机电工程 学院 普通物理实验 课 实验报告 级 班 组 实验合作者 实验日期 姓名: 学号 老师评定 实验题目：
单 摆 的 设 计 与 研 究 (设计性实验) 【实验简介】 单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。 【设计任务与要求】 1、用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度，测量精度要求。
2、 对重力加速度g的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。
3、自拟实验步骤研究单摆周期与质量、空气阻力等因素的关系，试分析各项误差的大小。
【mg cosθ mg sinθ L θ θ mg 图1 设计的原理思想】 一根不可伸长的细线，上端悬挂一个小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置称为单摆，如图1所示。如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期。当单摆的摆角很小（一般θ<5°）时，可以证明单摆的周期T满足下面公式 （1）
（2）
式中L为单摆长度。单摆长度是指上端悬挂点到球心之间的距离；
g为重力加速度。如果测量得出周期T、单摆长度L，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g。从上面公式知T 2和L具有线性关系，即。对不同的单摆长度L测量得出相对应的周期，可由T 2～L图线的斜率求出g值。
【测量方案的制定和仪器的选择】 本实验测量结果的相对误差要求2℅，由误差理论可知，g的相对误差为从式子可以看出，在ΔL、Δt大体一定的情况下，增大L和t对测量g有利。
由误差均分原理的要求，各独立因素的测量引入的测量误差应相等，则 ，本实验中单摆的摆长约为100cm,可以计算出摆长的测量误差要求为 ΔL<1cm,故选择米尺测量一次就足以满足测量要求；
同理 ，当摆长约为1m时，单摆摆动周期约为2秒，可以计算出周期的测量误差要求为Δt 0.01s,要作到单次测量误差小于0.01s相当不容易，停表的误差主要是由判断计时开始和终止时的不准确以及动作反应快慢所产生的，因而可以采用连续测量多个周期来减小每个周期的误差，若每次测量引入约四分之一周期的误差，即0.5s则连续72次的周期测量即可满足测量误差的要求。
【实验步骤的设计】 1、 测量摆长L：取摆长大约1m，测量悬线长度l0 六次及小球直径D一次，求平均得 2、 粗测摆角θ：应确保摆角θ<5 °。
3、 测量周期T：计时起点选在摆球经过平衡位置的时刻，用停表测出单摆摆动50次的时间 T50，共测量6次，取平均值。
4、 计算重力加速度：将测出的 和T50代入 中（其中n为周期的连续测量次数），计算出重力加速度g，并计算出测量误差。
5、用金属作为摆线，以改变摆线的质量，以研究摆线质量对测g的影响 6、用乒乓球作为摆球，形容空气浮力对测g影响 l d 图2 【实验记录和数据处理】 橙色字体的数据是在实验室测量出的原始数据，其他数据是计算所得。
1、 重力加速度g 对摆长为L的单摆，测量在的情况下，测量连续摆动n次的周期 说明：
(1)摆长L应是摆线长加小球的半径(如图2)。L=l－(d /2) (2)球的振幅小于摆长的时，。
(3)握停表的手和小球同步运动，测量误差可能小些。
(4)当摆锤过平衡位置时，按表计时，测量误差可能小些。
(5)为了防止数错n值，应在计时开始时数“零”，以后每过一个周期，数1，2，…..，n。
UB=，UC(x)= 相对不确定度UE=UC/ 1、用米尺(量程：2m，分度值：1mm)测摆线长 2、用游标卡尺(量程：125cm，分度值：0.02mm)测求的直径d 3、用电子秒表(分度值：0.01s)测n=50的t值 Δl仪=仪器分度值=0.1mm，Δd仪=仪器分度值=0.02mm，Δt仪=仪器分度值=0.01S, 测量次序 1 2 3 4 5 平 均 U(A) U(B) U(C) l(cm) 101.55 101.45 101.40 101.60 101.50 101.50 0.04 0.6 0.6 d 22.16 22.18 22.28 22.16 22.14 22.18 0.02 0.01 0.03 l-d/2(cm) 100.44 100.34 100.29 100.49 100.39 100.39 0.04 0.6 0.6 T50(s) 100.78 100.50 100.50 100.63 100.81 100.64 0.07 0.01 0.07 l=1.004±0.006(m) t=100.64±0.07(s) 根据有效数字的取值规则，测量结果有效数字的末位要与不确定度末位取齐 =9.78ms-2 根据有效数字的取值规则，不确定度只取一个有效数字 =0.6% U(g)=0.06 ms-2 实验结果g=g±U(g)=9.78±0.06(ms-2)=9.78(1±0.6%)(ms-2) 评价本地重力加速度的公认值为：g0=9.79 ms-2 ┃g- g0┃/ U(g)=0.14 <3所以测得的实验结果可取。
2、考查摆线质量对测g的影响 按单摆理论，单摆摆线的质量应甚小，这是指摆线质量应远小于锤的质量。一般实验室的单摆摆线质量小于锤的质量的0.3%，这对测g 的影响很小，在此实验的条件下是感受不到的。为了使摆线的影响能感受到，要用粗的摆线(如用保险丝类)，每米长摆线的质量达到锤的质量的1/30左右；
参照上述“1”去测g。
实验记录和数据处理 Δl仪=仪器分度值=0.1mm，Δd仪=仪器分度值=0.02mm，Δt仪=仪器分度值=0.01S，UB= 测量次序 1 2 3 4 5 平 均 U(A) U(B) U(C) l(cm) 101.15 101.05 101.00 101.20 101.10 101.10 0.04 0.6 0.6 d 21.98 21.92 21.90 21.94 21.92 21.93 0.01 0.01 0.02 l-d/2(cm) 100.05 99.95 99.91 100.10 100.00 100.00 0.03 0.6 0.6 T50(s) 98.81 98.75 98.57 98.65 98.68 98.69 0.04 0.01 0.04 根据有效数字的取值规则，测量结果有效数字的末位要与不确定度末位取齐 l=1.0000±0.03(m) t=98.69±0.04(s) =10.13ms-2 根据有效数字的取值规则，不确定度只取一个有效数字 =0.59% U(g)=0.06 ms-2 实验结果g=g±U(g)=10.13±0.06(ms-2)=10.13(1±0.6%)(ms-2) 评价本地重力加速度的公认值为：g0=9.79 ms-2 ┃g- g0┃/ U(g)=5.79>3所以测得的实验结果不可取。
3、考查空气浮力对测g影响 在单摆理论中未考虑空气浮力的影响。实际上单摆的锤是铁制的，它的密度远大于空气密度，因此在上述测量中显示不出浮力的效应。
为了显示浮力的影响，就要选用平均密度很小的锤。在此用细线吊起一乒乓球作为单摆去测g，和上述“1”的结果相比。
因为除去空气浮力的作用，还有空气阻力使乒乓球的摆动衰减较快，另外空气流动也可能有较大影响，因此测量时改为测量30个周期。
实验记录和数据处理 测量次序 1 2 3 4 5 平 均 U(A) U(B) U(C) l(cm) 101.00 101.30 101.50 101.25 101.35 101.28 0.08 0.6 0.6 d 37.38 37.20 37.56 37.40 37.70 37.45 0.08 0.01 0.09 l-d/2(cm) 99.13 99.44 99.62 99.38 99.47 99.41 0.08 0.6 0.6 T30(s) 61.04 61.19 61.16 61.00 61.09 61.10 0.04 0.08 0.09 l=99.41±0.08(m) t=61.10±0.04(s) =9.46ms-2 =0.60% U(g)=0.06 ms-2 实验结果g=g±U(g)=9.46±0.06(ms-2)=9.46(1±0.6%)(ms-2) 评价本地重力加速度的公认值为：g0=9.79 ms-2 ┃g- g0┃/ U(g)=5.79>3所以测得的实验结果不可取。
实验结果分析：
1、从实验测量结果g=g±U(g)=9.78±0.06(ms-2)=9.78(1±0.6%)(ms-2)可以看出测量的相对不确定度为0.6%符合实验设计的测量精度要求，且通过与公认值比较也说明此实验测量结果可取。
2、当摆线用金属丝时，由于摆线有质量，相当于摆球的质心上移(如图3)，摆长缩短，但实验时测量的摆长不变，L测>L实，把L测代入公式：g=4π2n2L/t2 使得算出的重力加速度比本地的g大。
3、当用乒乓球作摆球时，由于乒乓球受空气阻力作用，恢复力减小(如图4)，单摆的振动变慢，振动周期增大，T测>T实，把T测代入公式：g=4π2n2L/t2使得算出的重力加速度比本地的g小。
理论恢复力 实际恢复力 阻力 图4 测量质心 实际质心 图3
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