2023年《尺规作图》参考教案1专题 第一篇：《尺规作图》参考教案1专题 13.4 尺规作图 一、教学目标 1.了解尺规作图.2.驾驭尺规的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角.3.尺规作图的步骤.4.尺规作图的简洁应用，解尺规作图题，会写已知、求作和作法.二、教学重点:画图，写出作图的主要画法.三、教学难点:写出作图的主要画法，应用尺规作图.四、教学方法:引导法，演示法.五、教学过程 (一)引入 直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟识的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.请大家画一条长4cm的线段，画一个48°的角，画一个半径为3cm的圆.假如只用无刻度的直尺和圆规，你还能画出符合条件的线段、角吗? 事实上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图.(二)新课 1.画一条线段等于已知线段.请同学们探究用直尺和圆规精确地画一条线段等于已知的线段.已知线段a，用直尺和圆规精确地画一条线段等于已知线段a.请同学们探讨、探究、沟通、归纳出具体的作图方法.例1 已知三边作三角形.已知：线段a、b、c.(画出三条线段a、b、c)求作：△ABC，使得三边为线段a、b、c.作法：(1)画一条线段AB，使得AB=c.(2)以点A为圆心，以线段b的长为半径画圆弧；
再以点B为圆心，以线段a的长为半径画圆弧；
两弧交于点C.(3)连结AC，BC.△ABC即为所求.2.画一个角等于已知角.1 / 2 请同学们探究用直尺和圆规精确地画一个角等于已知角.已知角∠MPN，用直尺和圆规精确地画一个角等于已知角∠MPN.请同学们探讨、探究、沟通、归纳出具体的作图方法.作法：(1)画射线OA.(2)以角∠MPN的顶点P为圆心，以适当长为半径画弧，交∠MPN的两边于E、F.(3)以点O为圆心，以PE长为半径画弧，交OA于点C.(4)以点C为圆心，以EF长为半径画弧，交前一条弧于点D.(5)经过点D作射线OB.∠AOB就是所画的角.(如图)留意：几何作图要保存作图痕迹.探究如何过直线外一点做已知直线的平行线；
请同学们探讨、探究、沟通、归纳出具体的作图方法.例2 根据以下条件作三角形.(1)已知两边及夹角作三角形；
(2)已知两角及夹边作三角形；
请同学们探讨、探究、沟通、归纳出具体的作图方法(依次).练习：
(三)小结 请同学们自己对本课内容进行小结.2 / 2 其次篇：浅谈尺规作图 浅谈尺规作图 所属县：广西百色市凌云县 单 位：广西百色市凌云县凌云中学 姓 名：唐奕清 内容提要：尺规作图，具有悠久的历史渊源、丰富的教学意义和现实内涵。但由于各种缘由，尺规作图的教学存在着许多不利因素。我们需正视困难和问题，找寻解决问题的途径，提高尺规作图的教学质量。
关键词：尺规作图 教学意义 教学困难 提高途径 尺规作图，是指有限次运用无刻度的直尺和圆规来解决不同的几何作图问题。尺规作图有着悠久的历史，古希腊人最早提出了尺规作图。后经希腊数学家欧几里德在《几何本来》一书中以理论形式加以明确，并被人们始终所遵守，进而流传至今。
在我国，关于尺规作图的教学始终有着优良的教学传统。根据张景中院士的回忆，在1978年实行的全国中学生数学竞赛中，数学家苏步青就曾写信向主持命题工作的数学大师华罗庚建议，出一道有关尺规作图的题目作为考试试题。这种重视尺规作图的意识，进一步在《全日制九年义务教化数学课程标准》中得到了表达。《标准》中明确要求学生能完成一些基本的尺规作图，并能根据一些基本作图探究一些问题；
对于尺规作图的过程，要求能写出已知、求作和作法。
尺规作图不仅有悠久的历史渊源，也拥有着丰富的教学意义和现实内涵。首先，尺规作图能够丰富教学情境，培育学生的实践实力。众所周知，尺规作图是一种由学生实际执行的操作，具有不行替代的直观性，特别符合让学生自己动手解决问题的教学理念。在实际教学中，尺规作图是一种情境的创设，即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题。学生能作出一张符合要求的图形，是一种具有挑战性的创建活动，能够激发学生的创建性。因此，在几何教学中强调“视察、操作、推理〞的今日，尺规作图理应得到足够的重视. 其次，尺规作图能培育学生严谨的学习习惯、严密的规律思维和空间想象实力。尺规作图的一般步骤如下：①要求学生画出草图，假设图形已作出；
②根据图形分析画法；
③利用尺规严格操作并写出作法；
④若要求证明，就给出证明；
否则就写出结论。学生严格依据步骤进行作图的过程，正是一个猜测、操作、验证的过程，有助于学生养成严谨的学习习惯，培育学生严密的规律思维实力。另外，尺规作图能有效的培育学生的空间想象实力。而空间想象实力正是立体几何教学中的重难点，它干脆影响到学生学习立体几何的效果。从二维到三维的转变，是学生相识客观世界，改造世界的基础。尺规作图可以使学生积累相当的阅历，能有效的培育学生的空间想象实力，是立体几何学习的关键所在。
第三，尺规作图既能呈现数学美，又能培育学生的学习爱好，具有良好的教学效果。数学美是一种特殊的美，是美的高级形式。著名哲学家沙利文曾说过：“秀丽的公式就如但丁神曲中的诗句，黎曼的几何与钢琴合奏曲一样秀丽。〞在课堂教学中，向学生展示标准图形，能让学生充分感受数学美，启发思维，深化学问的理解。学生自己动手，尺规作图，则能提高审美相识，陶冶情操。
此外，尺规作图有着许多规范的作图语句，如：(l)过点X作某个平面的垂线，垂足为点X；
(2)过点X作直线XX的平行线，交直线XX于点X；
(3)在XX上截取XX=XX；
(4)延长XX到点X，使XX=XX；
(5)在线段XX上取中点X，连结XX等等。这些规范作图语句的运用，既可以避开在考试中出现不必要的失分，也能培育学生规范的书面表达实力和与他人合作沟通的实力。因此，我们必需重视尺规作图的教学作用，正视有关尺规作图的教学问题。
然而，随着科学技术的进展、推广和工业生产的需要，各种各样精密的作图工具起先出现。这些工具的运用，虽然便利了人们的需要，但也使得一些人起先怀疑和轻视尺规作图的作用。目前，这种思想已经起先在课堂上漫延，一些老师出于各种缘由，淡化了尺规作图，甚至于在课堂上根本不尺规作图。结合自身的教学实践，我个人认为出现这种现象有以下几个缘由，并结合教学实际，提出一些解决问题的途径，与大家沟通，仅供大家参考。
〔1〕：正确相识老师的角色。
数学课程改革提倡以学生为本的教化理念，提倡数学教学是数学活动的教学，提倡同等交往、互动合作、共同进展的师生关系，这就要求老师能够正确相识自身角色。一般中学数学课程标准提出：老师不仅是课程的实施者，而且也是课程的探讨、建设和资源开发的重要力气；
老师不仅是学问的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。在日常的教学活动中，老师必需起到引导者和组织者的重要作用，引导学生养成尺规作图的良好习惯，组织特地的尺规作图教学，在教学活动的开展过程中与学生深化沟通、合作，提高学生的尺规作图水平。
〔2〕：高度相识尺规作图的作用。之所以出现老师上课“作草图〞、学生解题“作草图〞，甚至于在考试中也“作草图〞的现象，对尺规作图作用的相识不够是根本缘由。正所谓：天再高又怎样，踮起脚尖就更接近阳光，不管出现多少精密、困难的制图仪器，尺规作图是驾驭这些仪器的基础，在教学和社会实践活动中具有不行替代的作用。所以，在当前教材中，从小学、初中到中学数学教材，从平面作图到立体作图，都以特地的章节突显了尺规作图的特色和作用。因此，我们要高度相识到尺规作图的作用〔前文已述，此处不再赘述〕，才能提高宽阔师生的尺规作图水平，到达数学新课程标准的要求。
〔3〕：不舍本逐末，将尺规作图深化课堂，持之以恒。许多老师和学生认为：尺规作图很麻烦，需要确定的时间，对解题无甚关心，影响到解题的速度。殊不知，这是舍本逐末的做法。俄国数学家沙雷金就说过：将来的几何学习应当重视以下四个步骤，直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算。但是中国的几何教学，把前两个步骤忽视了，变成纯粹的思辨论证，以及论证基础上的计算。缺乏直观，事实上就扼杀了几何。这句话一语中的的点出了当前在几何教学中存在的问题。正确的做法是：在教学过程中，老师和学生都应当尺规作图，这样才可以增加学生的直观感知实力。而直观感知实力，是问题解决的第一步，也可为以后的作图和解题积累阅历，提高尺规作图的速度和效率。此外，冰冻三尺，非一日之寒，培育学生的尺规作图实力不是一日这功。老师更不能“三天打渔，两天晒网〞，而应当将尺规作图深化到几何教学的每一个环节，并且持之以恒，才能到达良好的培育尺规作图实力的效果。
〔4〕：认真解决在尺规作图教学中遇到的问题。
在尺规作图的教学和运用过程中会遇到许多困难和障碍,正视这些问题，并有效地解决它，是提高尺规作图教学效果的关键。学生遇到的问题主要有心理障碍、操作障碍和语言障碍等等。解决这些问题的方法多样，许多专家和老师都各有妙招，大家可以查找相关文献去阅读，解决自己在具体教学中遇到的问题。但是有一个总的方针必需把握，那就是：首先应让学生明确作图题与证明题在本质、形式、思维根据、思维方式上的区分与统一，以削减论证思维对作图题的消极影响。其次，也是最重要的一条是根据学生规律推理思维往往要依靠直观、具体的形象的客观实际，要求学生在分析作图步骤之前，先按求作画出草图，并在草图中尽量标出已知的条件，使求作的图形形象而又具体地呈如今学生面前，化抽象为直观。然后再根据已知条件，并以“两点定线〞、“两线定点〞的原则考虑作图的步骤。〔5〕：引入多媒体教学方式，激发学习爱好。虽然尺规作图仅限于运用无刻度的直尺和圆规，但这并不阻碍我们引入多媒体这一先进的教学手段。通过运用投影仪，老师可以运用和学生一样的直尺，圆规，进行作图。亲历亲为的教学，可以加强学生的直观感知，提高教学效果。此外，附带有尺规作图功能的作图软件，如：几何画板、authorware等软件都可轻松地呈现具体、精确的制图过程。尺规作图的多媒体教学，既可节省教学时间，同时又可激发学生的学习爱好。为以后学生运用更困难、精密的制图仪器打好坚实的基础。当然，这要求老师们不断提高自身的综合素养，娴熟驾驭这些优秀、好用的尺规作图软件，与时俱进，否则会事倍功半，事得其反。
总之，尺规作图具有丰富的教学意义和现实意义，在几何教学中的意义越来越显著。宽阔师生应充分相识到尺规作图的重要内涵，正视在尺规作图教学中遇到的问题，解决它，从而不断提高教学质量，为学生的进展奠基。
参考文献 张景中.新概念几何.中国少年儿童出版社.2023 乐嗣康、崔雪芳、张奠宙.尺规作图教学的现代意义.中学数学月刊.2023年第12期 刘芳.对尺规作图教学的三个思索.中学数学杂志.2023年第10期 中华人民共和国教化部.一般中学数学课程标准(试验).北京:人民教化出版社.2023-4-1 沙雷金.直观几何.上海：华东师范高校出版社.2023-1-1.王孝波.尺规作图的学习障碍及教学对策.教学探讨.1998年第1期 第三篇：尺规作图专题详尽归纳 考点名称：尺规作图 1．了解什么是尺规作图． 2．学会用尺规作图法完成以下五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；
(2)画一个角等于已知角；
(3)画线段的垂直平分线；
(4)过已知点画已知直线的垂线；
(5)画角平分线． 3．了解五种基本作图的理由． 4．学会运用精练、精确的作图语言表达画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简洁的图形． 6．通过画图相识图形的本质，体会图形的内在美． 1．尺规作图：
定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图． 留意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛． 步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；
(2)分析作图的方法和过程；
(3)用直尺和圆规进行作图；
(4)写出作法步骤，即作法。〔根据题目要求来定是否需要写出作法〕 2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：
(1)画一条线段等于已知线段． 如图24-4-1，已知线段DE． 求作：一条线段等于已知线段． 作法：①先画射线AB． ②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN． 线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角． 如图24-4-2，已知∠AOB． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射线O′A′；
②以点O为圆心，以随便长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线． 如图24-4-3，已知线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． ②作直线CD． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． 留意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线． a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4． 已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：作平角ACB的平分线CF． 直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4． b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：①随便取一点K，使K和C在AB的两旁． ②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． ③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F． ④作直线CF． 直线CF就是所求的垂线． 留意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角． 如图24-4-6，已知∠AOB． 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC． 作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE． ②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C． ③作射线OC． OC就是所求的射线． 留意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些困难的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好． 通过这一节的学习，同学们要驾驭以下作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧． (4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×． (5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××． (7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××． 留意：学过基本作图后，在作较困难图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的具体过程，只用一句话概括表达就可以了． 如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××． (3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等． 但要留意保存全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的表达省略而作图就不按程序操作，只有保存作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理． 例1 已知两边及其夹角，求作三角形． 如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b． 作法：①作∠MAN＝∠α． ②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b． ③连结BC． 如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形． 留意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较困难的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析． 例2 如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形． 已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h． 分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来． 作法：(1)作线段BC＝a． (2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC． 如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形． 例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形． 如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)． 求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)． 分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由可得到． 的关系可作出点B和点C，于是△ABC即 作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m． (2)延长ED到B，使． (3)在DE或BE的延长线上取． (4)连结AB、AC． 则△ABC即为所求作的三角形． 留意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以假如h>m，作图题无解；
若m＝h，则作出的图形为等腰三角形． 例4 如图24-4-13，已知线段a． 求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2． 分析：因为菱形四边相等，“半周长为a〞就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2〞可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD． 作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a． (2)作线段AC，使． (3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D． (4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)． 留意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法〞． 例5 如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点． 求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满意题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了． 作法：(1)连结CD． (2)作线段CD的中垂线l． (3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求． 留意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满意题目的不同要求． 例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有() A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 分析：到直线 距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点． 解：分别作 相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个． 答案：D． 留意：此题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不行只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满意条件的点． 例7(2023·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上． (1)试关心工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保存作图痕迹)；
(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请关心工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长． 解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17． (2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴． ∴x＝48． 答：这个正方形零件的边长为48cm． 留意：此题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必驾驭，同时对作出图形的性质要清楚． 例8(2023·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关学问，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径． 分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径． 解：如图24-4-18②③所示． 例9 如图24-4-19，已知线段a、b、h． 求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h． 并回答下列问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？ 错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a． 如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形． (2)作出的三角形唯一． (3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等． 误区分析：此题错解在于忽视了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部． 正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)． 则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一． (3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不愿定全等． 留意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎． 学习基本作图，主要是运用视察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，驾驭作图语言． 画困难的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步找寻画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法． 拓展：
1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
〔5〕已知始终角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图 ：
(1)过不在同始终线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．〔3〕作圆的内接正方形和正六边形 ． 附件：尺规作图简史：
“规〞就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规〞这个字.“矩〞就像如今木工运用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的运用是我国古代的一个独创，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规〞之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规则〞.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高低之势，……乃勾股之所由生也.〞意即禹治洪水，要先测量地势的凹凸，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规则的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规则，以度天下之方圆.〞《孟子》卷四中说“离娄(传闻中目力特殊强的人)之明，公输子(即鲁班，传闻木匠的祖师)之巧，不以规则，不能成方圆.〞可见，在春秋战国时期，规则已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此运用范围较广，具有较大的好用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规则的好用价值.因此，在作图中对规、矩的运用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地运用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思索改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不行能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不行能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地运用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何本来》.由于《几何本来》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也始终被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简洁的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分随便角问题和化圆为方问题.当时很多知名的希腊数学家，都曾着力于探讨这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却始终未能得偿所愿.以后两千年来，多数数学家为之费尽心机，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分随便角问题都属于尺规作图不行能问题.1882年林德曼证明白π是无理数，化圆为方问题不行能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.· 第四篇：尺规作图学问归纳 考点名称：尺规作图 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。
其实尺规作图的用途很大，比方单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，特别便利。尺规作图的中基本作图：
作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；
作线段的垂直平分线；
作已知角的角平分线；
过一点作已知直线的垂线。还有：
已知一角、一边做等腰三角形 已知两角、一边做三角形 已知一角、两边做三角形 根据公理：
还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的根据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。留意：
保存全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保存作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。
· · 尺规作图方法：
任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
·通过两个已知点可作始终线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。
1．了解什么是尺规作图． 2．学会用尺规作图法完成以下五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；
(2)画一个角等于已知角；
(3)画线段的垂直平分线；
(4)过已知点画已知直线的垂线；
(5)画角平分线． 3．了解五种基本作图的理由． 4．学会运用精练、精确的作图语言表达画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简洁的图形． 6．通过画图相识图形的本质，体会图形的内在美． 1．尺规作图：
限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图． 留意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛． 2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图． 3．基本作图共有五种：
(1)画一条线段等于已知线段． 如图24-4-1，已知线段DE． 求作：一条线段等于已知线段． 作法：①先画射线AB． ②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN． 线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角． 如图24-4-2，已知∠AOB． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射线O′A′；
②以点O为圆心，以随便长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线． 如图24-4-3，已知线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． ②作直线CD． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． 留意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线． a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4． 已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：作平角ACB的平分线CF． 直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4． b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：①随便取一点K，使K和C在AB的两旁． ②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． ③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F． ④作直线CF． 直线CF就是所求的垂线． 留意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角． 如图24-4-6，已知∠AOB． 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC． 作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE． ②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C． ③作射线OC． OC就是所求的射线． 留意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些困难的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好． 通过这一节的学习，同学们要驾驭以下作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧． (4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×． (5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××． (7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××． 留意：学过基本作图后，在作较困难图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的具体过程，只用一句话概括表达就可以了． 如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××． (3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等． 但要留意保存全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的表达省略而作图就不按程序操作，只有保存作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理． 例1 已知两边及其夹角，求作三角形． 如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b． 作法：①作∠MAN＝∠α． ②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b． ③连结BC． 如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形． 留意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较困难的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析． 例2 如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形． 已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h． 分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来． 作法：(1)作线段BC＝a． (2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC． 如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形． 例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形． 如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)． 求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)． 分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由可得到． 的关系可作出点B和点C，于是△ABC即 作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使． (3)在DE或BE的延长线上取． (4)连结AB、AC． 则△ABC即为所求作的三角形． 留意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以假如h>m，作图题无解；
若m＝h，则作出的图形为等腰三角形． 例4 如图24-4-13，已知线段a． 求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2． 分析：因为菱形四边相等，“半周长为a〞就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2〞可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD． 作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a． (2)作线段AC，使． (3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D． (4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)． 留意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法〞． 例5 如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点． 求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满意题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了． 作法：
(1)连结CD． (2)作线段CD的中垂线l． (3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求． 留意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满意题目的不同要求． 例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有() A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 分析：到直线 距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点． 解：分别作 相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个． 答案：D． 留意：此题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不行只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满意条件的点． 例7(2023·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上． (1)试关心工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保存作图痕迹)；
(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请关心工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长． 解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17． (2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴． ∴x＝48． 答：这个正方形零件的边长为48cm． 留意：此题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必驾驭，同时对作出图形的性质要清楚． 例8(2023·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关学问，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径． 分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径． 解：如图24-4-18②③所示． 例9 如图24-4-19，已知线段a、b、h． 求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h． 并回答下列问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？ 错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a． 如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形． (2)作出的三角形唯一． (3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等． 误区分析：此题错解在于忽视了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部． 正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)． 则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一． (3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不愿定全等． 留意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎． 学习本单元基本作图，主要是运用视察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，驾驭作图语言． 画困难的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步找寻画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法． 考点一 尺规作图 1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；
(2)分析作图的方法和过程；
(3)用直尺和圆规进行作图；
(4)写出作法步骤，即作法． 考点二 五种基本作图 1．作一线段等于已知线段；
2 ．作一个角等于已知角；
3．作已知角的平分线；
4．过一点作已知直线的垂线；
5．作已知线段的垂直平分线． 考点三 基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知始终角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同始终线上的三点作圆 (即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆． 尺规作图简史：
“规〞就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规〞这个字.“矩〞就像如今木工运用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的运用是我国古代的一个独创，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规〞之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规则〞.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高低之势，……乃勾股之所由生也.〞意即禹治洪水，要先测量地势的凹凸，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规则的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规则，以度天下之方圆.〞《孟子》卷四中说“离娄(传闻中目力特殊强的人)之明，公输子(即鲁班，传闻木匠的祖师)之巧，不以规则，不能成方圆.〞可见，在春秋战国时期，规则已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此运用范围较广，具有较大的好用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规则的好用价值.因此，在作图中对规、矩的运用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地运用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思索改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不行能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不行能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地运用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何本来》.由于《几何本来》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也始终被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简洁的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分随便角问题和化圆为方问题.当时很多知名的希腊数学家，都曾着力于探讨这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却始终未能得偿所愿.以后两千年来，多数数学家为之费尽心机，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分随便角问题都属于尺规作图不行能问题.1882年林德曼证明白π是无理数，化圆为方问题不行能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.· 第五篇：初二数学习题尺规作图 初二数学习题尺规作图 班 姓名 号 1.尺规作图，保存作图痕迹，注明结果，不写作法 〔1〕作∠AOB的对称轴 (2)作线段AB关于直线L的对应线段A′B′ L A A OBB 〔3〕已知△ABC 与△A′B′C′关于某条直线对称，请作出这条直线 AA′ BB′B A CC′ 〔3〕〔4〕 〔4〕在直线L上求一点，使它到A、B距离相等 〔5〕在∠AOB的内部求一点P，使它到角的两边距离相等，到C、D两点距离也相等 A C D OB 〔6〕已知△ABC，利用“SAS〞 作出△A′B′C′，使这两个三角形全等 A BC L A〔7〕如图，求作一点P，使PA=PB, PC=PD.C DB (8)如图A、B、C表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，支配建一所小学，要使小学到三个村庄距离相等，请在图中确定学校的位置〔写出作法〕 A CB 〔9〕要在河边L修建一个水泵站，分别向张庄〔A〕、李庄〔B〕送水，水泵站修在河边什么地方，可使所用的水管最短〔写出作法〕 B A L