第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的定义和性质 1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系． 2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理的能力． 3．在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力． 重点 理解并掌握菱形的概念与性质定理． 难点 菱形性质定理的证明及运用． 一、情境导入 课件出示教材第2页情境图，提出问题：
你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？ 学生：图片中有八年级学过的平行四边形． 教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？ 学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等． 教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 二、探究新知 1．菱形的性质 教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？ 学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分． 教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流． 学生讨论交流后，教师点评． 教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ (2)菱形中有哪些相等的线段？ 学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：
①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等． 2．证明菱形的性质 教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明． 课件出示：
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；
(2)AC⊥BD. 分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等． ②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；
又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论． 学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评． 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)． 又∵AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD. (2)∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD. 三、举例分析 例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长． 分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，所以可以得到等边△ABD，BD＝6，菱形的边长也是6. ②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；
由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理可以求出OA的长度；
再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC＝2OA，求出AC的长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝BD＝×6 ＝3(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝＝＝3. ∴AC＝2OA＝6(菱形的对角线互相平分)． 四、练习巩固 教材第4页“随堂练习”． 五、小结 1．什么叫做菱形？ 2．菱形有哪些性质？ 六、课外作业 教材第4～5页习题1.1第1～4题． 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平． 第2课时 菱形的判定 1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路． 2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． 3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力． 4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力． 重点 菱形判定定理的证明及应用． 难点 菱形的判定方法的综合运用． 一、复习导入 1．菱形的定义是什么？ 2．菱形有哪些性质？ 教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容． 二、探究新知 1．菱形的判定方法一 教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法． 2．菱形的判定方法二 课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形． 教师转动木条，提出问题：
(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？ (2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？ 引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形． 教师：你能证明你的猜想吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评． 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：
▱ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)． 3．菱形的判定方法三 教师：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：
如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D. 教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？ 学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等． 教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA. 求证：
四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？ 学生动手操作，教师巡视指导． 三、举例分析 例 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1. 求证：▱ABCD是菱形． 思考：(1)观察题目中的数据，AB，OA，OB有什么数量关系？ (2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？ (3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？ 四、练习巩固 1．教材第7页“随堂练习”． 2．教材第7页习题1.2第1题． 五、小结 1．怎样判定一个四边形是菱形？ 2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？ 六、课外作业 教材第7页习题1.2第2，3题． 在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养． 第3课时 菱形的性质与判定的应用 1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法． 2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法． 重点 菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法． 难点 等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用． 一、复习导入 1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6. (1)求AD，DC，BC的长． (2)对角线AC与BD有什么位置关系？ (3)若∠ADC＝120°，求AC的长． 图①
图② 2．如图②，在▱ABCD中添加一个条件使其成为菱形． 添加方式1：________________________________________________________________________. 添加方式2：________________________________________________________________________. 二、探究新知 1．课件出示：
如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm.求：
(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AED＝90°(菱形的对角线互相垂直)， DE＝BD＝×10＝5(cm)(菱形的对角线互相平分)． ∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
AE＝＝＝12(cm)． ∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的对角线互相平分)． (2)S菱形ABCD＝ S△ABD＋ S△CBD ＝2×S△ABD ＝2××BD×AE ＝BD×AE ＝10×12 ＝120( cm2)． 注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；
对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点． 2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ 分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形． 三、举例分析 例 (变式训练)如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12 cm，AC长16 cm.求：
(1)菱形的边长；
(2)菱形一条边上的高． 分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高． 教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？ 教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路． 四、练习巩固 1．教材第9页“随堂练习”第1，2题． 2．教材第10页习题1.3第5题． 五、小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？ 六、课外作业 1．教材第9页习题1.3第1～4题． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积． 本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的． 2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的定义和性质 1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理． 2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识． 3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值． 重点 矩形的性质定理的理解及应用． 难点 矩形的性质定理的应用． 一、情境导入 课件出示教材第11页情境图，提出问题：
这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 教师：你还能举出一些生活中矩形的例子吗？ 二、探究新知 1．探究矩形的性质定理 教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究． (1)改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？ 学生：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质． (2)用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？ 学生：橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等． (3)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 学生：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴． (4)你认为矩形还具有哪些特殊性质？ 学生：矩形的四个角都是直角，对角线相等． 教师：你能证明这些结论吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理：
矩形的四个角都是直角． 矩形的对角线相等． 2．探究直角三角形的性质定理 课件出示教材第12页图1－9，提出问题：
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 学生观察、思考后发现：AE＝AC，BE＝BD，BE是Rt△ABC的中线． 由此归纳直角三角形的一个性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 三、举例分析 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求这个矩形对角线的长． 分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA＝OB，由于∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，则OA＝AB＝4 cm，∴AC＝BD＝2OA＝8 cm. 例2 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE＝AC. 分析：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC的中点F，也可以取AC的中点G. 学生分四人小组，合作探究不同的证法． 证法一：取BC的中点F，连接EF，DF，如图①. ∵E为AB中点，∴EF∥AC.∴∠FEB＝∠A. ∵∠A＝2∠B，∴∠FEB＝2∠B.∵DF＝BC＝BF，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2. ∴∠1＝∠2.∴DE＝EF＝AC. 证法二：取AC的中点G，连接DG，EG，如图②. ∵CD是△ABC的高， ∴在Rt△ADC中，DG＝AC＝AG. ∵E是AB的中点，∴GE∥BC.∴∠1＝∠B. ∴∠GDA＝∠A＝2∠B＝2∠1. 又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1. ∴∠2＝∠1.∴DE＝DG＝AC. 四、练习巩固 1．教材第13页“随堂练习”． 2．如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E.求证：AC＝CE. 分析：要证AC＝CE，可以考虑证明∠E＝∠CAE.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，且∠CAE＝∠DAE－∠DAC. 另外一个条件是CE⊥BD，过点A作AF⊥BD于点F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE＝∠BAE－∠FAB.现在只要证明∠BAF＝∠DAC即可，而实际上，∠BAF＝∠BDA＝∠DAC，问题迎刃而解． 五、小结 1．什么叫矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形有几条对称轴？ 六、课外作业 教材第13～14页习题1.4第1～4题． 本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，提高学生的探索创新思维和创造能力．首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望．教学过程中，先利用平行四边形活动框架，让学生通过观察、测量、思考、讨论等活动，得出矩形的性质．在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识．再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性、挑战性以及推理的严谨性．第2课时 矩形的判定 1．理解和掌握矩形的判定定理． 2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力． 3．通过对比已学的知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法． 重点 理解和掌握矩形的判定定理． 难点 矩形的判定定理的应用． 一、情境导入 课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形活动框架．用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？ 二、探究新知 1．矩形的判定定理1 根据上面的实践活动提出问题：
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 学生讨论交流后回答，教师点评，并归纳：
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 矩形的判定定理1的证明过程：
(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
(3)请学生交流大体思路；
(4)用规范的数学语言写出证明过程；
(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题． 2．矩形的判定定理2 教师：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流． 学生讨论交流后回答，教师点评，并引导学生归纳：
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2的证明过程：
(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
(3)请学生交流大体思路；
(4)用规范的数学语言写出证明过程；
(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题． 三、举例分析 例1 实际问题：
(1)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？ (2)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？ (3)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？ 学生分小组讨论后回答，教师点评，并总结：
先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平行四边形是矩形”得证． 例2 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积． 学生独立完成，指名板演，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第16页“随堂练习”． 2. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, CM∥BD，DM∥AC. 求证：四边形OCMD是矩形． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．矩形的判定定理有哪些？ 六、课外作业 教材第16页习题1.5第1～3题． 对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华．课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急．此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法．还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生． 第3课时 矩形的性质与判定的应用 1．能够运用矩形的性质定理和判定定理解决问题． 2．经历矩形的性质与判定的应用过程，发展学生的推理论证能力． 3．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学的严谨性． 重点 矩形的性质定理与判定定理的应用． 难点 灵活地运用矩形的性质定理与判定定理解决问题． 一、复习导入 1．如图①，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝ 120°，AB＝2.5 cm，则∠DAO＝__________，AC＝__________ cm，S矩形ABCD＝__________ cm2. 2. 如图②，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形． 二、探究新知 课件出示：如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长． 学生小组合作完成本题的求解，教师点评并板书：
解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝DO＝BD(矩形的对角线相等且互相平分)， ∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角)． ∵ED＝3BE， ∴BE＝OE. 又∵ AE⊥BD， ∴AB＝AO. ∴AB＝AO＝BO. 即 △ABO是等边三角形． ∴∠ABO＝60°. ∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°. 在Rt△AED中， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝×6＝3. 注意：本题的解法不唯一，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己不同的意见． 三、举例分析 例 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM. ∴∠DAE ＝∠CAD＋∠CAN ＝(∠BAC＋∠CAM) ＝×180° ＝90°. 在△ABC中， ∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 四、练习巩固 1．在上一题中，条件不变，连接DE，交AC于点F(如图①)． (1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论． (2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论． 图①
图② 2．如图②，四边形ABCD是由两个全等的等边△ABD和△CBD组成，点M，N分别是BC和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形． 五、小结 通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？ 六、课外作业 教材第18～19页习题1.6第1～5题． 本课时，是综合运用矩形的性质定理和判定定理，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．在教学过程中，不应加大习题量，题目在精不在多，扎实地讲解和学习比大量练习要有效果得多．把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标． 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的定义和性质 1．理解正方形的概念和性质定理，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系． 2．在探索正方形的性质定理的过程中，发展学生的合情推理能力． 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性． 重点 理解正方形的定义和性质． 难点 选择适当的方法解决有关正方形的问题． 一、情境导入 教师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候，我们往往会先折一张正方形的纸片．那么大家能用一张长方形的纸片折出一个正方形吗？ 学生动手操作，引导学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 教师：结合菱形和矩形的定义，想一想，什么样的四边形是正方形？ 学生思考后回答，教师点评，并归纳：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 说明：其定义包括了两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)；
②有一个角是直角的平行四边形 (矩形)．所以说正方形既是菱形又是矩形． 教师：这节课我们就来深入地了解正方形．(板书课题) 二、探究新知 教师：正方形都具有哪些性质呢？ 学生：由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质． 教师：你能详细说一说正方形的性质吗？ 学生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． 由学生的回答归纳出：
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等． 正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 教师：同学们能尝试完成这两个定理的证明吗？ 学生独立完成，并相互交流，教师点评． 教师：正方形有几条对称轴？ 学生思考或者画图验证． 三、举例分析 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE ＝ CF.BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE ＝ DF，且 BE⊥DF.理由如下：
(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ DC，∠ BCE ＝ 90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)． ∴ ∠ DCF ＝ 180°－ ∠ BCE ＝ 180°－ 90°＝ 90°. ∴ ∠ BCE ＝ ∠ DCF. 又∵ CE ＝ CF， ∴ △BCE ≌ △DCF. ∴ BE ＝ DF. (2)延长 BE 交 DF 于点 M(如图)． ∵ △BCE ≌ △DCF， ∴ ∠ CBE ＝ ∠ CDF. ∵ ∠ DCF ＝ 90°， ∴ ∠ CDF ＋ ∠ F ＝ 90°. ∴ ∠ CBE ＋ ∠ F ＝ 90°. ∴ ∠BMF＝ 90°. ∴ BE⊥DF. 例2 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 学生尝试画图，教师点评，并进一步讲解，课件出示如下图：
四、练习巩固 1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 第1题图 第2题图 2．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明． 五、小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？ 六、课外作业 教材第22页习题1.7第1～4题． 本节课教学的主要内容是探究并证明正方形的性质定理．教材只是提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值．培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力． 第2课时 正方形的判定 1．掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的证明和计算． 2．经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生综合推理的能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法． 3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点． 重点 掌握正方形的判定定理． 难点 合理恰当地利用特殊平行四边形的性质与判定进行有关的证明和计算． 一、复习导入 1．我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？ 2．让学生回答以下问题：
(1)怎样判断一个四边形是矩形？ (2)怎样判断一个四边形是菱形？ (3)怎样判断一个四边形是平行四边形？ (4)怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 教师：你有什么方法判定一个四边形是正方形？这就是本节课要探究的内容． 二、探究新知 1．正方形的判定定理 课件出示教材第22页图1－20，提出问题：
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？ 学生动手操作，教师巡视指导，并讲解：
因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可． 教师：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？ 引导学生总结出正方形的判定定理：
对角线相等的菱形是正方形． 对角线垂直的矩形是正方形． 有一个角是直角的菱形是正方形． 教师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？ 教师：同学们能尝试完成这3个定理的证明吗？ 学生独立完成，教师点评． 2．中心四边形 学生以小组的形式，在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中选择一种自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性． 平行四边形
矩形 菱形
正方形 等腰梯形
直角梯形 梯形 引导学生得出结论：
平行四边形的中点四边形是平行四边形；
矩形的中点四边形是菱形；
菱形的中点四边形是矩形；
正方形的中点四边形是正方形；
等腰梯形的中点四边形是菱形；
直角梯形的中点四边形是平行四边形；
梯形的中点四边形是平行四边形． 三、举例分析 例 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义)． 在△EBC中， ∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)． 四、练习巩固 1．教材第24页“随堂练习”． 2．完成下列问题：
图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，EF为△ABC的中位线． ①若∠BEF＝30°，则∠A＝________. ②若EF＝8 cm，则AC＝________． (2)如图②，在AC的下方取一点D，连接AD，CD.取CD和AD的中点G、H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？ (3)如图③，四边形EFGH的形状有什么特征？ 五、小结 1．通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2．正方形的判定定理有哪些？ 六、课外作业 教材第25页习题1.8第1～4题． 本节课采用了多媒体辅助教学，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和意识．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问． 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程的定义 1．理解和掌握一元二次方程的定义，会判断一个方程是不是一元二次方程． 2．了解一元二次方程的一般形式、二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数． 3．能根据具体情境，列出一元二次方程． 重点 理解和掌握一元二次方程的相关概念． 难点 能根据具体情境，列出一元二次方程． 一、情境导入 课件出示教材第31页图2－1，提出问题：
幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 教师：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？ 让学生指出对应的三部分，引导学生分析所提问题满足的条件，列出相应的方程． 二、探究新知 1．教师：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？ 学生独立完成，找出等式． 教师：观察等式102＋112＋122＝132＋142，你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 学生尝试解决，在难以找到的情况下，归结为方程去解决． 2．课件出示教材第31页图2－2，提出问题：
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m．那么梯子的底端滑动多少米？ 引导学生设未知数，列出适合条件的方程． 3．教师：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8－2x)(5－2x)＝18， x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2， (x＋6)2＋72＝102. 教师：这些方程有哪些共同特点？类比一元一次方程的定义，你能总结出一元二次方程的定义吗？ 学生小组讨论，派代表陈述观点，教师进一步讲解：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数为2的整式方程叫一元二次方程． 一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项，a为二次项的系数，b为一次项的系数． 三、举例分析 例1 把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 例2 从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 学生独立完成，教师点评． 四、练习巩固 教材第32页“随堂练习”第1题． 五、小结 1．通过本节课的学习，你学会了什么？还有哪些困惑？ 2．一元二次方程的定义是什么？ 六、课外作业 教材第32页习题2.1第1，2题． 本节课通过丰富的问题情境引入一元二次方程的定义，学习中注意深刻理解定义的内涵：一元二次方程的组成；
一元二次方程的成立条件等．在教学中，让学生经历提出问题到解决问题的过程，体会其中的数学思想方法．教学中有意识地提高学生对实际问题和方法的理解，鼓励学生从多角度思考问题，这有利于提高学生的思维能力和解决问题的能力． 第2课时 用估算法求一元二次方程的近似解 1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解． 2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力． 3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识． 重点 经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解． 难点 探索一元二次方程的近似解． 一、情境导入 教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：
(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；
(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0. 上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解． 二、探究新知 教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？ 课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：
(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流． (2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？ (3)完成下表：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2－13x＋11
(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流． 分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；
学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；
学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；
所求的宽度为1 m. 教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0. 引导学生思考以下问题：
(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ (4)x的整数部分是几？十分位是几？ 学生思考后指名回答，教师进一步讲解：
在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4. 学生完成下面的表格：
x 0 1 2 3 4 x2＋12x－15 －15 －2 13 30 49
教师：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1. 教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解． 学生可能有以下的做法． 甲同学的做法：
x 1 1.5 2 x2＋12x－15 －2 5.25 13
所以1＜x＜1.5. 进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2. 因此x的整数部分是1，十分位是1. 乙同学的做法：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29
所以1.1＜x＜1.2. 因此x的整数部分是1，十分位是1. 注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较． 教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”． 采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：
(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；
(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；
(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；
如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；
(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根． 三、练习巩固 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？ 四、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？ 五、课外作业 教材第35页习题2.2第1～3题． 本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯． 本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学． 2 用配方法求解一元二次方程 第1课时 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1．理解配方法的意义，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程． 2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法． 3．让学生在独立思考与合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣． 重点 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程． 难点 了解并掌握用配方求解一元二次方程． 一、复习导入 1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________． 2．一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？ 3．用字母表示完全平方公式． 二、探究新知 1．课件出示问题：
(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？ (2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2＝5；
2x2＋3＝5；
x2＋2x＋1＝5；
(x＋6)2＋72＝102. (3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程困难在哪里？(合作交流) 学生独立完成，讨论交流后发现第(3)问等号的左端不是完全平方式，不能直接化成(x＋m)2＝n (n≥0)的形式，教师引导学生思考如何解决这样的方程问题． 2．课件出示：
填上适当的数，使下列等式成立：
x2＋12x＋________＝(x＋6)2；
x2－6x＋________＝(x－3)2；
x2＋8x＋________＝(x＋________)2；
x2－4x＋________＝(x－________)2. 学生思考后指名回答． 教师：上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？ 学生小组讨论交流，引导学生发现：要把形如x2＋ax的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方，即加上. 三、举例分析 例1 解方程：x2＋8x－9＝0.(师生共同解决) 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2＋8x＝9. 两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得 x2＋8x＋42＝9＋42， 即(x＋4)2＝25. 两边开平方，得x＋4＝±5， 即 x＋4＝5，或x＋4＝－5. 所以x1＝1，x2＝－9. 例2 解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0.(仿照例1，学生独立解决) 解：移项，得x2＋12x＝15. 两边同时加上62，得x2＋12x＋62＝15＋36， 即(x＋6)2＝51. 两边开平方，得x＋6＝±. 所以x1＝－6，x2＝－－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－－6 不合题意舍去． 所以梯子底部滑动了(－6)米． 教师：用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？ 小组合作交流，引导学生归纳：
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 四、练习巩固 解下列方程：
(1)x2－10x＋25＝7；
(2)x2－14x＝8；
(3)x2＋3x＝1；
(4)x2＋2x＋2＝8x＋4. 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么叫配方法？ 3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？ (1)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
(2)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x＋h)2＝k(k>0)的形式；
(3)用直接开平方法解变形后的方程． 六、课外作业 教材第37～38页习题2.3第1～3题． 本节课在教学过程中，采用了由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比、合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师作为学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅要教给学生知识，还要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习． 第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 1．经历配方法求解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能． 2．经历用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想． 3．能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力． 重点 会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程． 难点 能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 一、复习导入 1．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．填上适当的数，使下列等式成立：
(1)x2＋2x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋________＋36＝(x＋________)2；
(4)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；
(5) x2－x＋________＝(x－________)2. 3．比较下列两个一元二次方程的联系与区别． (1)x2＋6x＋8＝0；
(2)3x2＋18x＋24＝0. 教师：同学们可以发现方程(2)的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，那么如何解这类方程呢？这节课我们一起来探究． 二、探究新知 课件出示：
解方程：3x2＋8x－3＝0. 教师：如何把这个方程转化为符合上节课解题的基本形式？ 学生：根据等式的性质，将方程两边同除以3就可以把这个方程化为二次项系数为1的一元二次方程． 学生尝试解这个方程，教师板书规范解答过程． 解：方程两边都除以3，得 x2＋x－1＝0. 移项，得 x2＋x＝1， 配方，得 x2＋x＋＝1＋， 即＝. 两边开平方，得 x＋＝±， 所以 x1＝，x2＝－3. 三、举例分析 例 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达到10 m高？ 解：根据题意得 15t－5t2＝10. 方程两边都除以－5，得 t2－3t＝－2， 配方，得 t2－3t＋＝－2＋， ＝. 两边开平方，得 t－＝±. 所以 t1＝2，t2＝1. 四、练习巩固 1．教材第39页“随堂练习”． 2．印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；
其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题． 解：设猴子的总数是x，由题意可得 ＋12＝x. 解得x1＝16，x2＝48. 答：这群猴子可能是16只，也可能是48只． 五、小结 1．用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．利用一元二次方程解决实际问题的思路是什么？ 六、课外作业 1．教材第40页习题2.4第1，3题． 2．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p(毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系：p＝0.01x2＋0.05x＋107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？ 3．用配方法探究方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的解法． 本节课作为用配方法求解一元二次方程的第二节课，主要是以习题训练为主．所以我依照书上的例题为重点展示了用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤；
将书上的“做一做”转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决实际问题的意义；
另外在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关． 3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题． 2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况． 3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风． 重点 用公式法解一元二次方程． 难点 用配方法推导求根公式的过程． 一、复习导入 用配方法解下列方程：
(1)2x2＋3＝7x；
(2)3x2＋2x＋1＝0. 学生独立完成，指名板演． (1)2x2＋3＝7x. 解：将方程化成一般形式2x2－7x＋3＝0. 两边都除以一次项系数2，得x2－x＋＝0. 配方，得x2－x＋()2－＋＝0， 即(x－)2－＝0. 移项，得(x－)2＝. 两边开平方，得x－＝±， 即x＝±. 所以x1＝3，x2＝. (2)3x2＋2x＋1＝0. 解：两边都除以一次项系数3，得x2＋x＋＝0. 配方，得x2＋x＋()2－＋＝0， 即(x＋)2＋＝0. 移项，得(x＋)2＝－. 因为－<0， 所以原方程无解． 二、探究新知 1．一元二次方程的求根公式 课件出示：
用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式． 解：两边都除以一次项系数a，得x2＋x＋＝0. 教师：为什么可以两边都除以二次项系数a? 学生：因为a≠0. 配方，得x2＋x＋()2－＋＝0， 即(x＋)2－＝0. 移项，得(x＋)2＝. 教师：现在可以两边开平方吗？ 学生：不可以，因为不能保证≥0. 教师：什么情况下可以两边开平方？ 学生讨论后回答：因为a≠0，所以4a2>0.要使≥0，只要 b2－4ac≥0即可． 所以当b2－4ac≥0时，两边开平方，得 x＋＝±. 所以x＝－±， x＝. 归纳：x＝称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 2．一元二次方程的判别式 教师：如果b2－4ac<0时，会出现什么问题？ 学生：方程无解． 教师：如果b2－4ac＝0呢？ 学生：方程有两个相等的实数根． 归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0时，方程没有实数根． 教师：由以上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． 三、举例分析 例1 解方程：
(1)x2－7x－18＝0；
(2)4x2＋1＝4x. 引导学生根据以下步骤解方程：①确定a，b，c的值；
②判断方程是否有根；
③写出方程的根． 例2 判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2＋3＝7x；
(2)x2－7x＝20；
(3)3x2＋2x＋1＝0；
(4)9x2＋6x＋1＝0；
(5)16x2＋8x＝3；
(6) 2x2－9x＋8＝0. 学生迅速演算或口算出b2－4ac，从而判断出根的情况． 教师：第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷？ 教师：上述方程如果有解，请求出方程的解． 学生独立完成，教师板书第(1)题． 解方程：2x2＋3＝7x. 先将方程化成一般形式，得2x2－7x＋3＝0. 确定a，b，c的值 a＝2, b＝－7, c＝3. 判断方程是否有根 ∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0， ∴x＝＝＝. 写出方程的根 即x1＝3，x2＝. 教师：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷？ 四、练习巩固 教材第43页“随堂练习”第1～3题． 五、小结 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？ 2．如何判断一元二次方程的根的情况？ 3．用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？ 六、课外作业 1．教材第43页习题2.5第1～4题． 2．一张桌子长4 m，宽2 m，台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽． 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．本节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；
进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度． 第2课时 用公式法解决一元二次方程的实际问题 1．会用公式法解决一元二次方程的实际问题． 2．通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法． 3．通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性． 重点 会用公式法解决一元二次方程的实际问题． 难点 能根据具体情境列出一元二次方程，体会方程的根必须符合实际意义． 一、复习导入 教师：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？ 帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫． 二、探究新知 课件出示：在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ 学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品． 在学生展示作品后，教师提出问题：
(1)怎样知道你的设计是符合要求的？请说明理由？ (2)以上哪些图形可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？ 引导学生重点分析图⑤，图⑥，图⑦. 教师：如何设未知数？怎样列方程？ 学生独立思考，教师板书规范解题过程． 图⑤的解答：
解：设小路的宽为x m，由题意得 (16－2x)(12－2x)＝16×12×. 整理，得x2－14x＋24＝0. x2－14x＋49＝－24＋49， (x－7)2＝25. x1＝12，x2＝2. 教师：你认为小路的宽为12 m和2 m都符合实际意义吗？ 图⑥的解答：
解：设扇形的半径为x m，由题意得 πx2＝16×12× πx2＝96. x＝±≈±5.5. x1≈5.5，x2≈－5.5( 舍去)． 指名板演图⑦的解题过程，教师点评． 三、练习巩固 在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？ 出示图②和图③提出问题：你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？ 解：设金边的宽为x m，由题意得 (90＋2x )(40＋2x) ×72%＝90 ×40. 解得x1＝5，x2＝－70(舍去)． 四、小结 通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？ 五、课外作业 教材第45页习题2.6第2～4题． 本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题，以引导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识．在探究新知时，提出了这样的问题：在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进.4 用因式分解法求解一元二次方程 1．了解因式分解法的概念． 2．会用因式分解法求解一元二次方程． 3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想． 重点 用因式分解法求解一元二次方程． 难点 理解因式分解法求解一元二次方程的基本思想． 一、复习导入 1．用配方法求解一元二次方程的关键是什么？ 2．用公式法求解一元二次方程应先将方程化为什么形式？ 3．选择合适的方法解下列方程：
(1)x2－6x＝7；
(2)3x2＋8x－3＝0. 二、探究新知 1．课件出示：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 学生独自完成，教师巡视指导，选择不同解法的学生板演． 学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2＝3x， ∴x2－3x＝0. ∵a＝1，b＝－3，c＝0， ∴ b2－4ac＝9. ∴ x1＝0，x2＝3. ∴这个数是0或3. 学生B：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2＝3x， ∴ x2－3x＝0. x2－3x＋()2＝()2， (x－) 2＝， ∴ x－＝或x－＝－. ∴ x1＝3，x2＝0. ∴这个数是0或3. 学生C：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2＝3x， ∴x2－3x＝0. 即x(x－3)＝0. ∴x＝0或x－3＝0. ∴x1＝0，x2＝3. ∴这个数是0或3. 学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2＝3x， 两边同时约去x，得 ∴x＝3， ∴这个数是3. 教师：同学们用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为哪种方法更合适？为什么？ 学生讨论交流后回答，教师点评，明确学生C的方法更合适，并进一步讲解：
如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x－3)＝0得到x＝0和x－3＝0时，中间应写上“或”字． 我们再来看学生C解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a·b＝0，则a＝0或b＝0，把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法来解一元二次方程． 三、举例分析 例 解下列方程：
(1)5x2＝4x；
(2)x－2＝x(x－2)；
(3)(x＋1)2－25＝0. 分析：解方程(1)时，先把它化为一般形式，再用因式分解法求解方程． 解：(1)原方程可变形为 5x2－4x＝0， x(5x－4)＝0. x＝0或5x－4＝0. ∴x1＝0，x2＝. 分析：解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x－2)，所以把(x－2)看作整体，然后移项，再用因式分解法求解方程． 解：(2)原方程可变形为 (x－2)－x(x－2)＝0， (x－2)(1－x)＝0. x－2＝0或1－x＝0. ∴x1＝2 ，x2＝1. 教师：解方程(2)时能否将原方程展开后再求解？ 学生：能，这样做会比较复杂，把(x－2)当作整体更简便． 分析：解方程(3)时，因为右边是0，左边(x＋1)2－25可以把(x＋1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解． 解：(3)原方程可变形为 [(x＋1)＋5][(x＋1)－5]＝0， (x＋6)(x－4)＝0. x＋6＝0或x－4＝0. ∴ x1＝－6，x2＝4. 教师：这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知，一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主． 教师：用因式分解法求解一元二次方程的思路是什么？步骤是什么？对于以上三道题你是否还有其他方法来解？ 四、练习巩固 1．用因式分解法解下列方程：
(1)(x＋2)(x－4)＝0；
(2 )x2－4＝0；
(3)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)． 2．一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数． 五、小结 1．用因式分解法求解一元二次方程的基本思路和关键是什么？ 2．在应用因式分解法时应注意什么问题？ 3．因式分解法体现了怎样的数学思想？ 六、课外作业 教材第47～48页习题2.7第 1～3题． 评价的目的是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展．所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动地思考，能否清楚地表达自己的观点，及时发现学生的闪光点，给予积极肯定地表扬和鼓励，增强他们学习数学的兴趣和应用数学知识解决问题的意识，帮助学生形成积极主动的求知态度．本节课中应着眼于学生能力的发展，因此，其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透，才能更好地达到提高学生数学能力的目标． 5 一元二次方程的根与系数的关系 1．理解和掌握根与系数的关系，会利用根与系数的关系解决有关问题． 2．在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中，培养学生的观察、思考、归纳概括能力． 3．通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神． 重点 理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系． 难点 一元二次方程的根与系数关系的理解及应用． 一、复习导入 1．请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)． 2．解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ (1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
学生独立完成，教师巡视指导． 二、探究新知 1．探究一元二次方程的根与系数的关系 课件出示：
解出下列方程的根x1和x2，并计算x1＋x2和x1·x2的值. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋4x－4＝0 x2－2x－5＝0 6x2＋x－2＝0 2x2－5x＋1＝0
教师：观察表中x1＋x2与x1·x2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 师生共同总结规律，教师板书．(学生的语言表达可能不是很到位，教师可以进行适当地引导和点拨，但不能代替学生表达) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝. 2．证明一元二次方程的根与系数的关系 教师：刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢？ 学生先独立解决，再分组交流讨论发表看法． (教师板书) 证明：∵当Δ≥0时，由求根公式得 x1＝，x2＝， ∴x1＋x2＝＝－， x1·x2＝＝＝. 三、举例分析 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2－7x＋1＝0；
(2)x2＋14x－21＝0；
(3)2x2＋x－3＝0；
(4)x2－nx＋n－5＝0. 解：(1)x1＋x2＝7，x1·x2＝1. (2)x1＋x2＝－14，x1·x2＝－21. (3)x1＋x2＝－，x1·x2＝－. (4)x1＋x2＝n，x1·x2＝n－5. 例2 已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值． 解法一：因为关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，所以有 解这个方程组得 所以p＝－3，q＝0. 解法二：由x1＋x2＝p，x1·x2＝q， 方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，可得 0＋(－3)＝p， 0×(－3)＝q. 即得p＝－3，q＝0. 四、练习巩固 教材第50页“随堂练习”第1～3题． 五、小结 1．通过这节课的学习，你有什么收获？ 2．一元二次方程的根与系数有什么关系？ 六、课外作业 教材第51页习题2.8第1～4题． 观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．本节课在研究方程的根与系数的关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 经历了本节课的教学，学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握，但在寻求转化为两根之和与两根之积的过程中不要操之过急，例2可以在练习一定的习题后再给出来．在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式，培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识，并应该坚持下去． 6 应用一元二次方程 第1课时 列一元二次方程解决几何与行程问题 1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程． 2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型． 3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力． 重点 列一元二次方程解决实际问题． 难点 寻找实际问题中的等量关系． 一、情境导入 教师：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 课件出示教材第52页图2－7，提出问题：
(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (2)如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，这个距离是多少？ 学生分组讨论：怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？ 注意：涉及解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少． 二、探究新知 课件出示教材第52页例1. 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；
小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E外，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile) 分析：此题难度较大，一定要给学生充分的时间去体会题意，分析题意，不能急于求成．在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；
②找准各条有关线段的长度关系；
③建立方程模型，再求解． 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：
(1)要求DE的长，需要如何设未知数？ (2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ (3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ (4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？ 学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰＝2×V补给船；
时间等量：t军舰＝t补给船；
三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2. 弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程． 学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE，EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性． 教师：通过上面两道题的探究，应用一元二次方程解决实际问题有哪些步骤？ 引导学生总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤如下：
(1)审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；
(2)设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母(x)表示出来，设元又分直接设元和间接设元；
(3)列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
(4)解方程：求出所列方程的解；
(5)验根：检验未知数的值是否符合题意；
(6)写出答案． 三、举例分析 例1 一个直角三角形的斜边长为7 cm，一条直角边比另一条直角边长1 cm，那么这个直角三角形的面积是多少？ 例2 如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 图①
图② 例3 在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)把耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田面积为570 m2，问道路应为多宽？ 分析：三个例题的设计从简单问题入手，例1通过勾股定理解决直角三角形边长问题；
例2构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；
例3也是面积问题，在这个问题中通常设道路宽为x m，其中两条长为20 m，一条长为32 m，但要注意道路的交叉部分． 引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三条道路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？ 四、巩固练习 1．在一块正方形的钢板上裁下宽为20 cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4 800 cm2.求原正方形钢板的面积. 2．有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 五、小结 1．列方程解决实际问题的关键是什么？ 2．列方程解决实际问题的步骤有哪些？ 3．列方程时应注意哪些问题？ 六、课外作业 1．教材第53～54页习题2.9第3，4题． 2．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；
若不会，请说明理由． 本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七、八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生．虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度．本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新途径和方法；
学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律．无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学习指导． 第2课时 列一元二次方程解决利润问题 1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决利润问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程． 2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型． 3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力． 重点 列一元二次方程解决利润问题． 难点 寻找实际问题中的等量关系． 一、复习导入 1．列方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 审：审清题意，已知什么，求什么，已知与未知之间有什么关系；
设：设未知数，语句要完整，有单位(统一)的要注明单位；
列：找出等量关系，列方程；
解：解所列的方程；
验：是否是所列方程的根；
是否符合题意；
答：答案也必需是完整的语句，注明单位且要贴近生活． 2．列方程解决实际问题的关键是什么？ 3．请同学们回忆并回答与利润相关的知识？ 进价：有时也称成本价，是商家进货时的价格；
标价：商家在出售时，标注的价格；
售价：消费者购买时真正花的钱数；
利润：商品出售后，商家所赚的部分；
打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售． 二、探究新知 课件出示：
(1)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元，销售价为2 900元，那么卖一台冰箱商场能赚多少钱？ (2)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；
那么商场平均每天能赚多少钱？ (3)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；
而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？(本题在教材的基础上做了改动，降低难度) 分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度．所以，教学时采用列表的形式分析其中的数量关系． 本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元． 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为(29－x)元． 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了． 当然，解题思路不应拘泥于这一种，在利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法．如求定价为多少，直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？ 三、举例分析 例 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题． 解：设这种台灯的售价应定为x元．根据题意得 [600－10(x－40)](x－30)＝10 000. 解这个方程得 x1＝50，x2＝80(舍去)． 600－10(x－40)＝600－10×(50－40)＝500(个)． 答：台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个． 四、练习巩固 1．教材第55页“随堂练习”． 2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 五、小结 通过这两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？ 解决实际问题的关键：寻找等量关系． 步骤：①整体地、系统地审清问题；
②寻找问题中的“等量关系”；
③正确求解方程并检验根的合理性． 六、课外作业 教材第55页习题2.10第1～4题． 设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目中的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是实际问题的解题策略． 无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度． 第三章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 1．了解重复试验时频率可作为事件发生的概率的估计值． 2．会借助树状图或列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率． 重点 借助树状图或列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率． 难点 学会选择适当的方法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率． 一、情境导入 教师：抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现几种情况？ 教师：你认为正面朝上和反面朝上的可能性相同吗？ 二、探究新知 1．课件出示：
小颖、小明和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；
若两枚反面朝上，则小颖获胜；
若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜． 你认为这个游戏公平吗？ 学生分小组进行试验，然后累计各组的试验数据，分别计算“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的频数与频率，并由此估计这三个事件发生的概率． 教师巡视指导个别有困难的学生． 教师：通过刚才的试验，你认为这个游戏公平吗？ 引导学生思考：在上面掷硬币的试验中， (1)掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ (2)掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ (3)在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？ 学生分小组讨论后给出答案，教师点评并进一步讲解：
为了方便理解，我们通常借助画树状图或画表格列出所有可能出现的结果． ①用树状图列出所有可能出现的结果：
此图类似于树的形状，所以称为树状图． ②用列表法列举所有可能出现的结果：
第二枚硬币 第一枚硬币 正 反 正 (正，正) (正，反) 反 (反，正) (反，反)
共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，其中， 小明获胜的结果有1种：(正，正)，所以小明获胜的概率是；
小颖获胜的结果有1种：(反，反)，所以小颖获胜的概率是；
小凡获胜的结果有2种：(正，反)(反，正)，所以小凡获胜的概率是＝. 因此，这个游戏对三人是不公平的． 教师：利用树状图或表格的优点是什么？什么时候用树状图比较方便？什么时候用表格比较方便？ 引导学生得出：(1)利用树状图或表格可以不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．(2)当试验包含两步时，列表法比较方便，也可以用树状图法；
当试验在三步或三步以上时，用树状图法方便． 2．课件出示：
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色． (1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果． (2)游戏者获胜的概率是多少？ 学生独立完成后汇报答案，教师点评． 3．课件出示：
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏． (1)小颖制作了下图，并据此求出游戏者获胜的概率是. (2)小亮则先把转盘A的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是. B盘 A盘 红色 蓝色 红色1 (红1，红) (红1，蓝) 红色2 (红2，红) (红2，蓝) 蓝色 (蓝，红) (蓝，蓝)
教师：你认为谁做得对？说说你的理由． 学生思考后举手回答，教师点评，并提出问题：用画树状图和列表的方法求概率时应注意些什么？ 引导学生得出：用画树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性必须相同． 三、举例分析 例1 (课件出示教材第62页例1) 学生小组内讨论交流，教师板书规范书写过程． 解：因为小明和小颖每次出现这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中， 两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)，所以小凡获胜的概率为＝；
小明胜小颖的结果有3种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明获胜的概率为＝；
小颖胜小明的结果也有3种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为＝. 因此，这个游戏对三人是公平的． 例2 (课件出示教材第67页例2) 学生独立完成，教师巡视指导，集体讲评． 四、练习巩固 1．教材第61页“随堂练习”． 2．教材第64页“随堂练习”． 3．教材第67页“随堂练习”． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．利用画树状图和列表的方法求概率时应注意些什么？ 六、课外作业 1．教材第62页习题3.1第1，2题． 2．教材第64页习题3.2第2题． 3．教材第68页习题3.3第1题． 本节课的内容是利用画树状图和列表的方法求概率．在教学过程中，让学生通过例子比较两种方法的使用条件．体现学生的主体地位，引导学生主动探讨新知识．创造轻松的课堂氛围，使学生愉快地学习． 2 用频率估计概率 1．能用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率． 2．理解当试验次数足够大时，试验频率将稳定于理论概率． 3．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力． 重点 掌握用频率估计概率的条件及方法． 难点 用试验的方法估计复杂随机事件的概率． 一、复习导入 1．用列举法求概率的条件是什么？ 2．用列举法求概率的方法是什么？ 3．A＝(事件)，P(A)的取值范围是什么？ 4．列表法、树状图法是不是列举法，在什么时候运用这种方法？ 教师指名学生回答．教师点评：
(1)用列举法求概率的条件是：①每次试验中，可能出现的结果是有限的；
②每次试验中，各种结果发生的可能性相等． (2)每次试验中，有n种可能结果(有限个)，发生的可能性相等；
事件A包含m种结果，则P(A)＝. (3)0≤P(A)≤1，其中不可能事件B，P(B)＝0，必然事件C，P(C)＝1. (4)列表法、树状图法是列举法，在列出的所有结果很多或一次试验要涉及3个或更多的因素时采用这种方法． 教师：前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行，如果不满足这两个条件，是否还可以应用以上的方法呢？这节课我们一起来探究． 二、探究新知 1．课件出示：
某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率． (1)能够用列举法求出成活率吗？为什么？ (2)用什么方法求出成活率呢？ (3)请完成下表，并求出移植成活率． 移植总数(n) 成活数(m) 成活的频率() 10 8 0.8 50 47 270 235 0.817 400 369 75 662 1 500 1 335 0.890 3 500 3 203 0.914 7 000 6 335 900 8 073 14 000 12 628 0.902
学生思考后给出答案，教师点评：
(1)由于移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等，所以不能用列举出求出成活率． (2)应该用频率来估计概率． (3)移植成活率大约是0.9. 2．课件出示：
一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？ 学生分小组讨论交流并得出可行方案． 方案1：每次随机摸出一球并记录颜色，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将稳定于理论概率． 方案2：每次随机摸出6个球，并记录其中红球与白球的比例，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将稳定于理论概率． 3．课件出示：
某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表． 柑橘总 质量/千克 损坏柑橘 质量/千克 柑橘损坏的 频率 50 5.50 0.110 100 10.50 0.105 150 15.50 200 19.42 250 24.25 300 30.93 350 35.32 400 39.24 450 44.57 500 51.54 0.103
学生完成后给出答案，教师点评． 4．课件出示：
一个学习小组有6名男生、3名女生，老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取，你能设计一种试验来估计“被抽取的3人中有2名男生、1名女生”的概率吗？ 学生分小组讨论后给出答案，教师点评分析：
因为要做“从这9人中抽取3人”的试验的工作量很大，我们可用下面的方法来估计概率：
取9张形状完全相同的卡片，在6张卡片上分别写上1～6来表示男生，在其余的3张卡片上分别写上7～9来表示女生，把9张卡片混合起来并搅拌均匀． 从卡片中抽3次，随机抽取，每次抽取1张后放回，并记录结果，经大量重复试验，就能够计算相关频率，估计出“被抽取的3人中有2名男生、1名女生”的概率． 教师：通过上面的学习，你能归纳出什么知识呢？ 引导学生得出：(1)当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，可以通过统计频率来估计概率． (2)在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率． 三、练习巩固 教材第70页“随堂练习”第1，2题． 四、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用频率估计概率的条件是什么？ 3．用频率估计概率的方法是什么？ 五、课外作业 教材第71页习题3.4第1，2题． 本节课从统计式试验频率的角度去研究一些随机试验中事件的概率，由于此方法不受列举法求概率的两个条件的限制，所以本节课要强调的是在什么情况下用这种方法，怎么用这种方法求概率也是本节的重点和难点之所在． 在教学过程中，让学生通过复习和比较列举法引入：每次试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用频率求概率的方法．使学生更清楚地明白这两种方法的使用方法及其特点．课堂上，运用生活中的例子，让学生体验生活中的数学． 第四章 图形的相似 1 成比例线段 1．理解和掌握两条线段的比的概念，会计算两条线段的比． 2．理解和掌握成比例线段的定义和性质． 3．能应用比例的性质解决相关的问题． 重点 掌握成比例线段的定义和性质． 难点 会运用比例的基本性质解决问题． 一、情境导入 课件出示下图，提出问题：请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 学生：这些图片都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同． 二、探究新知 1．两条线段的比的概念 教师：请同学们回忆，什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两条线段的长短？ 学生：两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作a∶b；
度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小． 教师：由比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ 学生：两条线段的比就是两条线段长度的比． 教师：线段a的长度为3 cm，线段b的长度为6 m，所以线段a，b的比为3∶6＝1∶2，对吗？请说明理由． 学生：因为a，b的长度单位不一致，所以不对． 教师：那么，应怎样定义两条线段的比，以及求线段的比时应注意什么问题呢？ 学生思考后举手回答，教师点评，并讲解：
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成＝.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，则＝k，或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比． 强调：在量线段时要选用同一个长度单位． 2．比例线段的概念 课件出示教材第77页图4－3，提出问题：
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD，EF，EH的长度分别是多少？ 分别计算，，，的值，你发现了什么？ 学生独立完成，教师引导学生得出比例线段的概念：
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质 教师：如果a，b，c，d四个数成比例，即＝，那么ad＝bc吗？反过来，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？ 学生小组讨论交流得出比例的基本性质：
如果＝，那么ad＝bc. 如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝. 4．等比性质 (1)课件出示：
①如图，已知＝＝3，求和；
②如果＝＝k(k为常数)，那么＝成立吗？为什么？ 学生完成后给出答案，教师点评． (2)课件出示：
①如果＝，那么＝成立吗？为什么？ ②如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么＝成立吗？为什么？ ③如果＝，那么＝成立吗？为什么？ 学生分小组讨论后举手回答，教师讲评． 解：①如果＝，那么＝. ∵＝， ∴－1＝－1. ∴＝. ②如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么＝. 设＝＝＝k， ∴a＝bk，c＝dk，e＝fk. ∴＝＝＝k＝. 引导学生归纳：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. ③如果＝，那么＝. ∵＝， ∴＋1＝＋1. ∴＝. 由①得＝， ∴＝. 三、举例分析 例1 (课件出示教材第78页例1) 学生独立完成后汇报答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第80页例2) 学生独立完成后汇报答案，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第79页“随堂练习”第1～3题． 2．教材第80页“随堂练习”． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．比例线段的概念是什么？ 3．比例的性质有哪些？ 六、课外作业 1．教材第79页习题4.1第1，2题． 2．教材第81页习题4.2第1，2题. 本节课主要学习比例线段的概念及性质．成比例线段的概念，在后续学习中需要用到，是学生后续学习的基础，也是本节课研究比例性质的一个基础性概念．对学生而言，这个概念基于图形背景中，比较直观，学生比较容易理解．比例的性质，则是后续研究相似图形性质的基础，同时也可以为分式运算提供一些便捷，而且比例性质的寻求与说理过程中，蕴含着一些基本的数学方法，可以迁移运用到后续知识的学习中，是本节课重要的教学任务． 2 平行线分线段成比例 1．理解和掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 2．会用平行线分线段成比例解决问题． 3．培养学生认识事物从一般到特殊的认知过程． 重点 掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 难点 灵活运用平行线分线段成比例解决问题． 一、复习导入 1．什么叫比例线段？ 学生：四条线段 a，b，c，d 中，如果 ＝，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例线段有哪些性质？ 学生：如果＝，那么ad ＝bc. 如果 ad ＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝. 如果 ＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. 二、探究新知 1．平行线分线段成比例的基本事实 课件出示教材第82页图4－6，图4－7及相关问题． 学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2．平行线分线段成比例的推论 课件出示：
(1)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上(如图②)所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． (2)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上(如图②)，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 学生分小组讨论，教师引导学生得出结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例． 三、举例分析 例 (课件出示教材第83页例题) 学生独完成后给出答案，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第84页“随堂练习”． 2．如图，点D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB. 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．平行线分线段成比例的基本事实及其推论分别是什么？ 六、课外作业 教材第84～85页习题4.3第1～4题． “平行线分线段成比例”是平面几何的一个重要基本事实，它是研究相似图形的最重要和最基本的理论，一方面它可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个基本事实把两条线段的比“转移”成另两条线段的比．把平行线分线段成比例应用在三角形上，就得到了一个重要的推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣． 3 相似多边形 1．了解相似多边形和相似比的定义，会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似． 2．能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题． 重点 了解相似多边形的定义，判断两个多边形是否相似． 难点 能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题． 一、情境导入 教师：在生活中，我们常会看到这样一些图片(课件出示下图)．观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？ 二、探究新知 1．课件出示形状相同的正三角形ABC与正三角形A1B1C1，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1，提出问题：
(1)在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测． (2)在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 学生思考后给出答案，教师点评． 2．课件出示形状相同的六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1，提出问题：
(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测． (2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 学生分组讨论后给出答案，教师点评，并讲解：
图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；
AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边． 教师：回忆一下，我们刚才探究过的每一组多边形，你能发现它们的共同特点吗？ 引导学生总结相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．例如，在上图中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”．相似多边形对应边的比叫做相似比． 教师强调以下几点：
(1)在记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上． (2)相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定两个多边形相似的方法，也是最本质、最重要的性质． (3)相似比有顺序性．例如，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，对应边的比为＝＝＝＝＝.因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比k1＝，五边形 A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比k2＝. (4)相似比为1的两个图形是全等形. 因此全等形是相似图形的特殊情况． 三、举例分析 例1 (1)观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？ (2)图②中的两个图形相似吗？为什么？你从中得到什么启发？ 引导学生得出：如果两个多边形不相似，它们的对应角可能都相等；
如果两个多边形不相似，对应边也可能成比例．但如果两个多边形不相似，那么它们不可能各角对应相等且各边对应成比例． 例2 一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 学生思考后给出答案，教师点评并提问：
如果镶的纵向边框宽7.5 cm，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？ 学生分组讨论后举手回答，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第87～88页“随堂练习”第1，2题． 2．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？ 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．相似多边形的概念是什么？ 3．相似比的概念是什么？ 六、课外作业 教材第88页习题4.4第1～4题． 本节课在探索相似多边形定义的过程中，我刻意地回避了“两个图形的形状相同吗”的问题，而是直接明确指出两个图形相似，然后探索相似的本质特征．因为我认为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似)，只是一种感性的认识，这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断．从教学效果看这样处理减少了学生判断黑板边框问题的错误． 4 探索三角形相似的条件 第1课时 相似三角形和判定定理1 1．理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理1. 2．初步掌握相似三角形判定定理1的应用． 重点 理解相似三角形的定义和相似三角形的判定定理1. 难点 相似三角形判定定理1的理解及应用． 一、情境导入 教师：请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们与老师手中的木制三角板有什么关系？ 学生：它们对应角相等，对应边成比例． 二、探究新知 1．相似三角形的定义 教师：根据上面的关系，以及相似多边形的定义，你能说出相似三角形的定义吗？ 引导学生得出：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的判定定理1 教师：若给定两个三角形，你有什么办法来判定它们是否相似？能否类比两个三角形全等的条件，来寻找判定两个三角形相似的条件呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？ (1)教师：任意画一个△ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一．与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？ ①使∠ABC＝60°；
②使∠ABC＝90°；
③使∠ABC＝120°；
④使∠ABC＝∠α. 学生合作交流，引导得出结论：如果两个三角形只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似． (2)教师：如果有两个角对应相等的两个三角形，能否判定这两个三角形相似？与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′ ，使△ABC和△A′B′C′满足下列条件之一．比较你们所画的三角形，∠C 与∠ C′相等吗？对应边的比相等吗？三角形相似吗？ ①使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于60°；
②使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于90°；
③使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于120°；
④使得∠A，∠A′都等于α， ∠B 和∠ B′都等于β. 引导学生得出相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 三、举例分析 例1 判断下列说法是否正确． (1)所有的等腰三角形都相似；
(2)所有的等腰直角三角形都相似；
(3)所有的等边三角形都相似；
(4)所有的直角三角形都相似；
(5)有一个角是120°的两个等腰三角形相似；
(6)有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
学生举手回答，教师点评． 例2 (课件出示教材第89页例1) 学生独立完成，指名汇报，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第90页“随堂练习”第1，2题． 2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么是相似三角形？ 3．相似三角形的判定定理1的内容是什么？ 六、课外作业 教材第90页习题4.5第1～3题． 本节课是探索三角形相似的条件的第一课时——相似三角形和判定定理1，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，通过类比、观察等方式，让学生自行总结相似三角形的定义，再通过合作交流、画图等方式，让学生探讨出相似三角形的判定定理1，并且学会运用定理，培养学生分析观察能力和总结能力．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣． 第2课时 相似三角形的判定定理2和3 1．掌握三角形相似的判定定理2和3. 2．能利用相似三角形的判定定理2和3解决问题． 重点 掌握三角形相似的判定定理2和3. 难点 相似三角形的判定定理2和3的应用． 一、复习导入 1.判定三角形相似目前有哪些方法？ 2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC. (1)△ABD与△DCB相似吗？请说明理由． (2)如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的长吗？ (学生认真读题，观察图形，运用学过的判定相似的方法以及相似性质，讨论得出结果) 分析：△ABD∽△DCB.因为∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠DBC，故而这两个三角形相似；
由＝，故BD＝6. 教师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定定理1，除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题． 二、探究新知 1．相似三角形的判定定理2 教师：我们知道，相似三角形的各边成比例，如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流． 学生：两边成比例的两个三角形不一定相似． 教师：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 学生思考后给出答案，教师点评． 教师：我们先来考虑增加一角相等的情况． 课件出示：
画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′(或 ∠C与∠C′)的大小． (1) △ABC和△A′B′C′相似吗？ (2)改变k值的大小，再试一试． 学生完成后给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 教师：想一想，如果△ABC和△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 要求学生先画出图形，教师展示学生的图形，并提出问题：由此你能得到什么结论？ 2．相似三角形的判定定理3 教师：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 学生小组内讨论，教师巡视． 课件出示：
画△ABC和△A′B′C′，使，和都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小． (1)△ABC和△A′B′C′相似吗？说说你的理由． (2)改变k值的大小，再试一试． 学生分小组讨论并给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似． 3．总结 教师：在这两节课中我们已经学完了三角形相似的判定方法，下面请大家总结判定三角形相似有几种方法？ 第一种：对应角相等，对边成比例的两个三角形相似．即定义法． 第二种：两角对应相等的两个三角形相似． 第三种：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 第四种：三边对应成比例的两个三角形相似． 强调：从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义法一般不利用．如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；
如果既有角又有边，则可考虑用第三种方法判断；
如果已知条件只涉及边，就用第四种判定方法．(教师最好用实例引导) 三、举例分析 例1 图①中是否有相似的三角形？图②中的两个三角形是否相似？ 学生思考后给出答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第91页例2) 例3 (课件出示教材第94页例3) 学生独立完成后汇报答案，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第92页“随堂练习”． 2．教材第94页“随堂练习”． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．相似三角形的判定定理2和3分别是什么？ 六、课外作业 1．教材第93页习题4.6第1，3题． 2．教材第95页习题4.7第1，2题． 本节课是探索三角形相似的条件的第二课时——相似三角形的判定定理2和3，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，让学生动手实践，合作交流，总结出相似三角形的判定定理2和3，培养学生分析观察能力和总结能力．通过讲练结合，学会运用定理，加深学生对新知的认识．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣． 第3课时 黄金分割 1．理解和掌握黄金分割的定义． 2．理解黄金比的含义，会找一条线段的黄金分割点． 3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点． 重点 黄金分割的意义和简单应用． 难点 掌握寻找黄金分割点的方法． 一、情境导入 课件出示与“黄金分割”有关的图片，提出问题：
(1)芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？ (2)为什么身材苗条的模特还要穿高跟鞋？ (3)为什么世界第三高塔的上海东方明珠塔那么璀璨壮观？ 学生小组讨论后给出答案，教师点评． 教师：美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在这些问题中，我们对美的认同的确是比较一致的，为什么这些图形会给人以美的感觉呢？这些美的事物是否存在内在的规律呢？和我们的数学知识有没有联系呢？这就是我们今天要研究的“黄金分割”． 二、探究新知 1．黄金分割的定义 课件出示一个五角星：
教师：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC，BC的长度，然后计算，，它们之间有什么关系？ 学生：＝. 引导学生得出：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 2．计算黄金比 教师：那么AC与AB的比是多少呢？ 学生计算后给出答案，教师点评并板书具体解题过程：
由＝ ，得AC2＝AB·BC. 设AB＝1，AC＝x，则BC＝1－x. ∴x2＝1×(1－x)， 即x2＋x－1＝0. 解这个方程，得 x1＝，x2＝(不合题意，舍去)． 所以，＝≈0.618. 教师：AC与AB的比叫做黄金比．其中≈0.618. 3．找黄金分割点的方法 (1)课件出示：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB. ②连接DA，在DA上截取DE＝DB. ③在AB上截取AC＝AE.则点C为线段AB的黄金分割点． 教师：能说说其中的道理吗？ 教师：若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC，BC间需满足＝.下面请大家进行验证．有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB＝1. 学生独立完成后给出答案，教师点评． (2)教师：采用如下的方法也可以得到黄金分割点． ①如图，设AB是已知线段． ②以AB为边作正方形ABCD. ③取AD的中点E，连接EB. ④延长DA至点F，使EF＝EB. ⑤以线段AF为边作正方形AFGH. ⑥点H就是AB的黄金分割点． 教师：你能说说这种作法的道理吗？ 学生分小组讨论后给出答案，教师讲解． 解：设AB＝1，那么在Rt△BAE中， BE＝＝＝. EF＝BE＝， AH＝AF＝BE－AE＝－＝. BH＝AB－AH＝1－＝. 因此＝，点H是AB的黄金分割点． 三、练习巩固 当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10 m，节目主持人应站在距离舞台一端________处观众观看最协调．(精确到0.1 m) 四、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．黄金分割点与黄金比的定义分别是什么？ 3．说一说找黄金分割点的方法． 五、课外作业 教材第98页习题4.8第1～3题． “黄金分割”作为《新课程标准》明确提出的内容，在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，注重体现数学的文化价值，有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续新课的学习有着激励作用．在教学过程中，学生要经历“观察”和“思维”两大基本层次来诱导学生认识客观世界的本质和规律．学生的求知欲被激发起来后，教师应及时将其引入理性认识的轨道． 5 相似三角形判定定理的证明 1．能够熟练地掌握证明相似三角形的判定定理． 2．经历探索相似三角形判定定理的证明过程，培养学生的合情推理能力． 重点 相似三角形判定定理的证明． 难点 合理添加辅助线． 一、复习导入 教师：相似三角形的判定定理有哪些？ 学生：两角分别相等的两个三角形相似． 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 三边成比例的两个三角形相似． 教师：在前面，我们探索了三角形相似的条件，今天我们将对这些定理进行证明． 二、探究新知 1．证明三角形的判定定理1 课件出示：
如图，在 △ABC 和△A′B′C′ 中，∠A ＝ ∠A′，∠B＝∠B′. 求证：△ABC ∽△A′B′C′. 学生思考完成后，教师板书证明过程． 证明：在 △ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取AD ＝A′B′，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则∠1＝∠B，∠2 ＝∠C，＝. 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 ＝. ∴＝. ∵ DE∥BC, DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE ＝ CF. ∴＝. ∴＝＝. 而∠1＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠2＝∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 2．证明三角形的判定定理2 课件出示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝.求证：△ABC∽△A′B′C′. 指名学生到黑板写下证明过程，教师点评． 3．证明三角形的判定定理3 课件出示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，＝＝.求证：△ABC∽△A′B′C′. 指名学生到黑板写下证明过程，教师点评． 强调：证明两个三角形相似，可以通过画辅助线来帮助解决． 三、举例分析 例 如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB的长． 学生分小组讨论后举手回答，教师点评并板书解答过程． 解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C， ∴△ABD∽△ACB. ∴AB：AC＝AD：AB. ∴AB2＝AD·AC. ∵AD＝2，AC＝8， ∴AB＝4. 四、练习巩固 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，求AD的长． 五、小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 教材第102页习题4.9第1～4题． 本节课的内容是相似三角形判定定理的证明，是在学生对三角形之间的全等关系已有深度的认识，在学习了平行线分线段成比例、相似三角形的定义、探索相似三角形的条件等知识的基础上进行教学的．它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸．本节课要求学生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且学会运用．课堂上，注重证明过程的书写，让学生更加规范证明过程与步骤，提高学生的综合语言能力和分析能力，培养学生分析问题的条理性．积极调动学生的学习气氛，提高学习兴趣． 6 利用相似三角形测高 1．在测量旗杆高度的具体问题情境中，通过构建数学模型，进一步理解相似三角形的概念． 2．了解平行投影的意义和平行投影在生活中的运用，增强用数学的意识． 重点 综合运用相似三角形的有关知识求物体的高度． 难点 从实际问题中，建立数学模型． 一、复习导入 教师：判定三角形相似的定理有哪些呢？ 学生：两角分别相等的两个三角形相似；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
三边成比例的两个三角形相似． 教师：今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度． 二、探究新知 1．分析原理 教师：请同学们自学教材第103～104页的内容，小组讨论交流三种测量方法的数学原理． 甲组：利用阳光下的影子． 出示下图：
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形(如图①)，即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据＝可得BC＝，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度． 乙组：利用标杆． 出示下图：
如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于点G，交标杆EF于点H，于是得到△DHF∽△DGC. 因为可以测量AE，AB，观测者身高AD，标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB. 由＝，得GC＝. ∴旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD. 丙组：利用镜子的反射． 出示下图：
这里涉及物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC.测出AE，EB与观测者的身高AD，根据＝，可求得BC＝. 2．实践活动 教师：同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，每组分出三个小组分别实施这三种方法，测量我校操场上的旗杆高度．要求每小组中有观测员、测量员、记录员、运算员、复查员． 学生实际测量，教师巡视指导． 结合各组实际操作中遇到的问题，综合学生讨论情况做出如下结论：
(1)测量中允许有正常的误差． (2)方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确． (3)大家一致认为方法一简单易行，是个好办法． (4)方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力． 教师：现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：
(1)你还有哪些测量旗杆高度的方法？ (2)今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？ 三、练习巩固 1．教材第104～105页“读一读”． 2．高4 m的旗杆在水平地面上的影长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，求该建筑物的高度． 四、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．测量旗杆的高度有哪些方法？ 3．这几种测量方法各有哪些优缺点？ 五、课外作业 教材第105页习题4.10第2～4题． 本节课的内容是利用相似三角形测高．它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决．通过对此问题的解决方法的探究，渗透数形结合和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识．学生在本章前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步了解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决实际生活中的具体问题的基本知识．本节课在探究环节采用小组合作的形式，提高学生的动手能力与合作能力．调动学生的学习积极性． 7 相似三角形的性质 1．理解相似三角形的性质定理． 2．利用相似三角形的性质定理解决问题． 重点 理解相似三角形的性质定理． 难点 利用相似三角形的性质定理解决问题． 一、复习导入 1．什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？ 2．当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？ 3．全等三角形有哪些性质？三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？ 教师：相似三角形又有哪些性质呢？本节课我们将共同探讨． 二、探究新知 1．相似三角形的性质定理1 课件出示：
如图，小王依据图纸上的△ABC，以3：4的比例制作了三角形零件△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高． (1)，，各等于多少？ (2)△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比． (3)请你在图中再找出一对相似三角形． (4)等于多少？你是怎么做的？与同伴交流． 解：(1)＝＝＝. (2)△ABC∽△A′B′C′.理由：
∵＝＝， ∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4. (3)△BCD∽△B′C′D′.(△ADC∽△A′D′C′) ∵由△ABC∽△A′B′C′，得∠B＝∠B′. ∵∠BDC＝∠B′D′C′＝90°， ∴△BCD∽△B′C′D′(同理△ADC∽△A′D′C′)． (4)∵△BDC∽△B′D′C′， ∴＝ ＝. 课件出示：
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k. (1)如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？ (2)如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？ 学生互相交流后写出过程．教师点评，并引导学生得出相似三角形的性质定理1：
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比对应中线的比都等于相似比． 2．相似三角形的性质定理2 课件出示：
(1)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？ (2)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么你能求出△ABC与△A′B′C′的周长和面积比吗？ 解：(1)周长比为2，面积比为4. (2)由已知，得＝＝＝k. ∴＝＝k. 分别作△ABC和△A′B′C′的高CD和C′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴＝＝k(相似三角形对应高的比等于相似比) ∴＝＝·＝k2. 引导学生得出相似三角形的性质定理2：
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 课件出示：
如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k. (1)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？ (2)连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ (3)设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1，S△A2B2C2，S△A2C2D2，那么，各是多少？ (4)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？ (5)如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？两个相似的n边形呢？ 学生讨论后给出答案，教师点评并引导学生得出：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 三、举例分析 例1 (课件出示教材第107页例1) 例2 (课件出示教材第110页例2) 学生独立完成，指名板演，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第107～108页“随堂练习”第1，2题． 2．教材第110页“随堂练习”． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．相似三角形的性质定理有哪些？ 六、课外作业 1．教材第108页习题4.11第1，2题． 2．教材第111页习题4.12第3题． 相似三角形的性质定理是解决有关实际问题的重要基础，根据课标要求将理解相似三角形的性质定理作为本节课重点而将探究推导性质定理作为本节课难点．本节课对学生的评价，更多地应关注对学生学习的过程性评价．在整个教学过程中，我都将尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能地让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平，发展学生的语言表达能力． 8 图形的位似 1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质． 2．掌握位似图形的画法，能够利用画位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 重点 掌握位似多边形的有关概念、性质与画图． 难点 在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质． 一、情境导入 课件出示教材第113页图4－35，提出问题：
(1)它们是相似图形吗？ (2)图形位置间有什么关系？你能找出一些规律吗？ 引导学生得出：它们的形状相同，大小不同，是相似图形，图形上各组对应点的连线通过同一点． 二、探究新知 1．位似多边形的相关概念 课件出示下图，提出问题：图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？ 学生观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，引导学生自己归纳出位似图形的概念：
如果两个相似多边形任意一组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 这个点叫做位似中心． 注意：每组对应点与位似中心共线；
不经过位似中心的对应线段平行． 教师：位似多边形与相似多边形有什么区别与联系？ 学生：位似多边形任意一组对应点所在的直线都经过同一点，位似多边形是特殊的相似变换． 2．位似多边形的画法 课件出示：
把图①中的四边形ABCD缩小到原来的. 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 . 画法一：
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图②. 画法二：
画法三：
课件出示：
利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
(1)将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点． (2)选取一个图形，在图形外取一个定点． (3)将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端． (4)拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形． 这个新图形与已知图形形状相同． 教师：请你用这种方法把一个已知图形放大． 学生独立操作完成，教师巡视指导． 3．在直角坐标系中位似多边形的性质 课件出示：
(1)如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比． 如果将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘－2呢？ (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(5，3)，C(2，4)，将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比． 学生思考后给出答案，教师点评并引导学生得出：
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是|k|. 三、举例分析 例1 (课件出示教材第113页例1) 学生独立完成，指名不同画法的学生板演，教师点评． 例2 (课件出示教材第117页例2) 引导学生用不同画法完成，教师巡视指导． 四、练习巩固 1．教材第114页“随堂练习”． 2．教材第117页“随堂练习”． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．说说位似多边形的有关概念及其性质． 3．位似多边形的画图方法有哪些？ 4．在直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质是什么？ 六、课外作业 1．教材第115页习题4.13第1，2题． 2．教材第118页习题4.14第3题． 图形的位似是图形相似的延伸，位似图形在实际生活中有着广泛的应用．本节课的教学，我力争面向每一位学生，营造良好的学习氛围，激发每一个学生的学习热情．从精美的图片开始吸引学生的注意力，不仅引入自然、贴切，而且激发了学生学习的积极性．不足之处在于学生动手实践图形位似的画法时，练习的时间较少，学生掌握得不够熟练，应继续加强练习． 第五章 投影与视图 1 投影 第1课时 灯光与影子 1．了解投影和中心投影的概念，体会灯光下物体的影子在生活中的运用． 2．能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化． 重点 了解中心投影的概念． 难点 利用中心投影解决问题． 一、情境导入 教师：在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子．比如，太阳光照射在窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子；
而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子． 要求学生在灯光下做不同的手势，观察映射到屏幕上的表象． 引导学生得出：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面． 二、探究新知 1．学生活动：
取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒(或台灯)等去照射这些小棒和纸片，观察它们的影子． 引导学生思考：
(1)固定手电筒(或台灯)，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ (2)固定小棒和纸片，改变手电筒(或台灯)的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？ 学生小组合作交流后给出答案，教师点评，引导学生得出：
从一个点(点光源)发出的光线所形成的投影称为中心投影． 教师进一步讲解中心投影的性质：
(1)光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据同一灯光下两个不同物体及它们的影子，可以确定灯(点光源)所在的位置；
(2)若物体相对于光源的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分居在物体的两侧． 2．课件出示：
(1)下列现象属于中心投影的有( ) ①小孔成像；
②皮影戏；
③手影；
④放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)小华自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( ) A．50 cm B．60 cm C．500 cm D．600 cm 学生思考完成后举手回答，教师点评，提问：通过上面的学习，你能总结出中心投影的特点吗？ 引导学生总结归纳出中心投影的三个特点：
(1)等高物体垂直地面放置：离点光源越近，影子越短；
离点光源越远，影子越长． (2)等长物体平行地面放置：离点光源越近，影子越长；
离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度． (3)点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 三、举例分析 例 (课件出示教材第126页例1) 学生独立完成后给出答案，教师点评，并进一步讲解确定中心投影的光源位置的方法：
根据点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，知道其中两个点，就可确定第三个点的位置，先找物体上两点及其在影子上的对应点，再分别过物体上的点及其在影子上的对应点画直线，两条直线的交点即为光源所在的位置． 四、练习巩固 1．教材第126页“议一议”． 2．教材第127页“随堂练习”第1，2题． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．中心投影的概念及特点分别是什么？ 3．说说确定中心投影的光源位置的方法． 六、课外作业 教材第128～129页习题5.1第1～3题． 本节课的内容是灯光与影子．在教学过程中，让学生通过实践、观察、探索了解中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用，感悟灯光与影子在现实生活中的应用价值．通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化．在课堂上，以学生为主，教师引导学生探讨新知识，提高学生的分析能力，调动学生的学习积极性． 第2课时 太阳光与影子 1．理解平行投影与正投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子． 2．理解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的． 重点 理解平行投影与正投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子． 难点 理解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的． 一、复习导入 1．下图是两棵小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线．它是太阳的光线还是灯光的光线？ 它是太阳的光线，因为两棵树的顶端及其影子的顶端的两线相交于一点． 2．下图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示)，并与同伴交流这样做的理由． 学生小组讨论交流，教师点评． 教师：本节课我们就来研究“太阳光与影子”． 二、探究新知 1．平行投影 (1)学生活动：
取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子． 引导学生思考：①固定投影面，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ ②固定小棒或纸片，改变投影面的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ 学生操作、观察、探索后回答问题，教师引导学生得出：
太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影． 注意：①平行投影中对应点的连线是相互平行的；
②物体与投影的对应点的连线是相互平行的就说明是平行投影；
③物体在不同时刻的太阳光下，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变． 就我们生活的北半球而言，上午的影子的方向是由西向北变化，影子越来越短；
下午的影子方向由北向东变化，影子越来越长． (2)课件出示：
这三幅图是我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的． ①在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由． ②在同一时刻，两棵树影子的长度与它们的高度之间有什么关系？与同伴进行交流． 学生观察、交流，得出结论：在同一时刻，两棵树的影子的长度与它们的高度成比例． 教师进一步讲解平行投影的特点：①等高的物体垂直于地面放置时，在同一时刻的太阳光下，它们的影子一样长；
②等长的物体平行于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长，且等于物体本身的长度；
③在太阳光下，不同时刻，同一地点，同一物体的影子的长度可能不同；
④在太阳光下，同一时刻，同一地点，以同样的方式放置不同的物体，影子的长度与物体的长度成正比． 2．正投影 教师：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．如图所示：
强调：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影；
(2)正投影中强调的是光线与投影面之间的关系，与物体的位置无关；
(3)物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，它分物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况． 三、举例分析 例1 小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影试验，通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( ) A．三角形 B．线段 C．矩形 D．平行四边形 分析：将矩形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将矩形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将矩形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形． 例2 (课件出示教材第130页例2) 学生完成后给出答案，教师点评并引导学生得出画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的顶端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定其影子． 四、练习巩固 1．教材第131页“做一做”． 2．教材第132页“随堂练习”． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．平行投影的概念及其特点分别是什么？ 3．画物体平行投影的方法是什么？ 4．什么是正投影？ 六、课外作业 教材第132～133页习题5.2第1～4题． 太阳光与影子是日常生活中的常见现象，学生在其他课程的学习中已经积累了物体在太阳光下形成的影子的有关知识．而本节课是在学生学习了投影和中心投影这两个概念后，再一次给出了平行投影和正投影的概念．本节课的目的在于让学生通过众多实例进一步讨论物体在太阳光下所形成的影子的大小、形状、方向等几何知识． 相比于灯光与影子，本节课的内容难度要大一些．仅仅依靠学生的想象力，还无法解决全部问题，因此本节课教师应利用课堂时间组织学生动手实践去体会太阳光与影子之间的关系． 2 视图 1．会从投影的角度理解视图的概念，能说出基本几何体的三视图的形状．会画三棱柱、四棱柱的三视图．能根据几何体的俯视图画出其主视图和左视图． 2．经历探索简单几何体及棱柱的三视图的过程，培养学生的空间想象能力及画图能力． 3．经历由几何体的俯视图探索主视图和俯视图的过程，进一步发展学生的推理能力和空间感． 重点 掌握三视图的画法，能进行几何体和三视图之间的相互转化． 难点 几何体与三视图之间的相互转化． 一、复习导入 教师：什么是投影？什么是中心投影？什么是平行投影？什么是正投影？ 教师指名学生回答． 二、探究新知 1．主视图、俯视图、左视图的概念 课件出示教材第134页图5－12，提出问题：
(1)假设有一束平行光线从正面投射到图中的物体上，你能想象出它在这束平行光线下的正投影吗？把你想象的正投影画出来，并与同伴交流． (2)如果平行线光线从左面投射到图中的物体上，情况又如何？如果平行光线从上面投射到图中的物体上呢？ 学生独立画图，教师巡视指导，并讲解：
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，叫做物体的视图．通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图；
从上面得到的视图叫做俯视图．(正视图、左视图、俯视图统称为三视图) 2．主视图、左视图、俯视图的画法 学生活动：请同学们拿出事先准备好的直三棱柱、直四棱柱，根据你所摆放的位置经过想象，再抽象出这两个直棱柱的主视图、左视图和俯视图． 学生分四人小组，合作学习．观察、画图、交流，上台演示． 教师：请你将抽象出来的三种视图画出来，并与同伴交流． 指名同学在黑板上画出其中一个几何体的主视图、左视图和俯视图，完成后提出问题：你认为他画得对不对？谈谈你的看法． 学生积极举手回答，发表自己的看法． 教师：当你手中的两个直棱柱摆放的角度变化时，它们的三种视图是否会随之改变？试一试． 学生动手操作演示，教师巡视． 课件出示一个长方体，提出问题：请画出这个长方体的主视图、左视图、俯视图． 学生独立完成后，教师课件演示：对几何体进行正投影得到三视图． 教师：将水平面、侧面、正面展开到同一平面，观察得到三种视图有什么位置关系？ 教师引导学生得出三种视图的位置关系：主视图在图纸的左上方；
左视图在主视图的右方；
俯视图在主视图的下方． 教师：三种视图大小有什么规律？ 引导学生发现三种视图的大小对应关系：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等． 教师强调长、宽、高的概念：从正面观察几何体．长是几何体从左到右的距离，宽是几何体从前到后的距离，高是几何体从上到下的距离． 3．根据几何体的三视图，描述物体的形状 课件出示教材第141页图5－24，图5－25，提出问题：
你能在图5－25中找出与之对应的几何体吗？ 学生独立完成后汇报答案，教师点评． 课件出示教材第141页图5－26，提出问题：
你能想象出相应几何体的形状吗？ 学生独立思考，并小组内交流． 三、举例分析 例 (课件出示教材第138页例题) 学生独立完成后，教师点评，并引导学生得出三视图画法的注意事项：
(1)注意物体摆放的位置；
(2)明确三种视图的形状；
(3)明确三种视图的大小；
(4)注意实线与虚线的用法． 四、练习巩固 1．教材第136页“随堂练习”第1，2题． 2．教材第139页“随堂练习”第1，2题． 3．教材第142页“随堂练习”第1，2题． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么是三视图？ 3．说说三视图的画法及注意事项． 六、课外作业 1．教材第137页习题5.3第1，2题． 2．教材第140页习题5.4第1，2题． 3．教材第143页习题5.5第3题． 本节课的内容为视图，主要是通过对由实物抽象出几何体的过程，发展学生的空间想象能力．在教学过程中通过具体活动，积累学生的观察、想象物体投影的经验．在画实物的视图时，必须首先对实物进行合理的抽象，即把实物抽象成相应的几何体，在此基础上再画其视图．而且也会根据三视图描述几何体的形状．通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动，使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系，积累数学活动的经验．在应用数学解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情．培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发现数学． 第六章 反比例函数 1 反比例函数 1．了解反比例函数的概念，会判断一个式子是否是反比例函数． 2．能够列出实际问题中的反比例函数的表达式，并能确定自变量的取值范围． 重点 了解反比例函数的概念，会判断一个式子是否是反比例函数． 难点 能够列出实际问题中的反比例函数的表达式． 一、情境导入 课件出示：
导体中的电流I，与导体的电阻R、导体两端电压U之间满足关系式U＝IR.当U＝220 V时， (1)你能用含有R的代数式表示I吗？ (2)利用写出的关系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ (3)变量I是R的函数吗？为什么？ 学生小组合作讨论后举手回答，教师点评，并引出本节课课题——反比例函数． 二、探究新知 1．反比例函数的概念 问题1：小明有10元钱，购买y(个)单价是x(元)的铅笔，你能用含x的代数式表示y吗？ 学生：y＝. 问题2：京沪高速公路全长约为1 318 km，汽车沿京沪高速公路从上海开往北京，汽车行完全程所需的时间为t(h)，行驶的平均速度为v(km/h)，你能用含t的代数式表示v吗？ 学生：v＝. 教师：从上面的两个问题得出关系式y＝和v＝.它们是函数吗？能否根据这两个问题归纳出这一类函数的表达式呢？ 引导学生观察，归纳总结出反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数． 从y＝中可知自变量x作为分母，所以x不能为零． 2．反比例函数的表达式 课件出示：
下列函数表达式中，哪些式子表示y是x的反比例函数？如果是，请写出k的值． (1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)xy＝2；
(5)y＝；
(6)y＝－；
(7)y＝2x－1. 学生思考后汇报答案，教师点评． 教师：通过上面这道题，你能总结出反比例函数表达式的不同形式吗？ 学生积极思考，归纳总结：
第一种：y＝. 第二种：xy＝k. 第三种：y＝kx－1. 三、举例分析 例1 若y＝(5＋m)x2＋n是反比例函数，则m，n的取值是( ) A．m＝－5，n＝－3 B．m≠－5，n＝－3 C．m≠－5，n＝3 D．m≠－5，n＝－4 学生举手回答，教师点评． 例2 一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和 y cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 例3 某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 例4 y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x －2 －1 － 1 3 y 2 －1 (1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表． 学生独立完成后汇报答案，教师点评，并提出问题：上述问题中，自变量能取哪些值？ 四、练习巩固 教材第150页“随堂练习”第1，2题． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么是反比例函数？ 六、课外作业 教材第150～151页习题6.1第1～4题． 本节课的知识是反比例函数．课堂上，结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达式，形成反比例函数概念的具体形象，让学生经历从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维．在探索具体问题中的数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概念，结合具体情境领会反比例函数．通过练习题既巩固了反比例函数的定义，也让学生认识到反比例函数的表达式有不同的形式．由学生总结归纳，锻炼了学生的观察总结能力，紧接的练习又巩固了反比例函数表达式的3种形式．在教学过程中，给学生足够的时间和空间，培养学生自主分析问题、解决问题的能力，让学生得到一个良好的自主学习的环境． 2 反比例函数的图象与性质 1．掌握画出反比例函数图象的基本步骤，会画反比例函数的图象． 2．掌握反比例函数的主要性质． 3．能利用反比例函数的图象及性质解决一些实际问题． 重点 画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质． 难点 理解反比例函数的性质，并能灵活应用． 一、复习导入 1．什么是反比例函数？ 2．画出一次函数y＝4x的图象，图象是什么形状？画一次函数图象的步骤是什么？ 学生自主思考后给出答案，教师点评． 二、探究新知 1．反比例函数的图象 教师：反比例函数y＝的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？ 学生独立画图象，指名板演．教师点评，引导学生归纳画反比例函数图象的基本步骤． 教师：你以为画反比例函数图象时应注意哪些问题？ 引导学生总结：
(1)反比例函数的图象是双曲线；
(2)画反比例函数的图象要经过列表、描点、连线这三个步骤；
(3)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；
(4)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点即可；
(5)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接． 教师：观察上面的函数图象，如果点P(x0，y0)在函数y＝的图象上，那么与点P关于原点成中心对称的P′的坐标应是什么？这个点在函数y＝的图象上吗？ 学生思考回答后，教师进一步讲解：反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x；
对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称． 2．反比例函数的性质 课件出示：
画出反比例函数y＝与y＝－的的图象，探究下列问题：
(1)这两个反比例函数的图象有什么相同点和不同点？ (2)在每个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的？ 引导学生思考，得出：
表达式 图象的位置 y随x的变化情况 y＝ 图象在第一、三象限内 在每个象限内，y的值随着x值的增大而减小 y＝ 图象在第二、四象限内 在每个象限内，y的值随着x值的增大而增大
三、举例分析 例1 反比例函数y＝的图象如图所示． (1)判断k为正数还是负数． (2)如果A(－3，y1)和B(－1，y2)为这个函数图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样的？ 学生思考回答，教师讲评并进一步讲解根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：
利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；
如果给定的两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求值来比较． 例2 如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是G1和G2，设点P在G1上，PA⊥x轴于点A，交G2于点B，则△POB的面积是多少？ 学生分小组讨论后给出答案，教师点评，并提问：双曲线的几何特性是什么呢？ 引导学生总结双曲线的几何特性：
过双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 四、练习巩固 1．教材第153页“随堂练习”． 2．教材第155页“随堂练习”第1，2题． 五、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．反比例函数图象的画法及步骤是什么？ 3．反比例函数图象与位置的关系是什么？ 4．反比例函数有哪些性质？ 六、课外作业 1．教材第154页习题6.2第1，3题． 2．教材第157页习题6.3第1，2题． 本节课的内容主要有两点：一是画反比例函数的图象，二是由图象得出反比例函数的性质．在教学中，通过学生自由探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历获取新知的成功体验，充分体现了新课程的教学理念和自主探究的学习方法．学生的学习往往从问题开始，因为这样的学习具有方向性与原动力，因此，我把教学设计的主体设计成又若干个有一定逻辑顺序的问题，即通过复习反比例函数的定义——画出反比例函数的图象——根据图象得出反比例函数的性质——利用函数性质解决问题．层层深入，逐步培养学生的问题意识及利用所学知识解决问题的能力． 3 反比例函数的应用 1．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题． 2．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题．发展应用意识，建立函数思想． 重点 根据具体情境建立反比例函数的模型，进而解决实际问题． 难点 理解反比例函数的实际意义． 一、复习导入 1．什么是反比例函数？ 2．反比例函数的图象是什么？ 3．反比例函数的图象有什么性质？ 教师指名学生回答． 二、探究新知 1．课件出示：
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板画积为0.2 m2时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象． (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释． 学生思考后给出答案，教师点评，并强调：①画函数图象的三个步骤，②画出的图象应符合实际问题的实际意义，也就是列表时应注意自变量的取值范围，并可根据图象的性质回答相关的问题． 2．课件出示：
蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)间的函数关系如下图所示：
(1)蓄电池的电压为多少？你能写出这一函数的表达式吗？ (2)完成下表，并回答问题：如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ R/Ω 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A 4 分析：图象上所提供的信息包括：①直观上看，I与R之间的关系可能是反比例函数关系，利用相关知识IR＝U(U为定值)得到确认；
②由图象上点A的坐标可知，当用电器电阻为9 Ω时，电流为4 A. 解：(1)根据图象可得，当用电器的电阻为9 Ω时，电流为4 A．因为IR＝U(U为定值)，所以蓄电池的电压为U＝9×4＝36(V)．所以电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I＝.即I与R成反比例函数关系． (2)利用I与R之间的关系可得到下表：
R/Ω 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A 12 9 6 4 如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不超过10 A，即I≤10 A，所以≤10，R≥3.6 Ω. 因此，用电器的可变电阻应控制在大于等于3.6 Ω的范围内． 强调：我们还可以综合运用表格、图象来考查此问题，这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识． 无论从图象还是从表格，我们都能观察出反比例函数在第一象限内I随R的增大而减小．当I＝10 A时，R＝3.6 Ω.因此当限制电流不超过10 A时，用电器的可变电阻应是不小于3.6 Ω的． 3．课件出示：
如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2)． (1)分别写出这两个函数的表达式；
(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？ 分析：要求这两个函数的表达式，只要把点A的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的坐标即求y＝k1x与y＝的交点． 解：(1)∵点A(，2)既在y＝k1x的图象上，又在y＝的图象上． ∴k1＝2，2＝.∴k1＝2，k2＝6. ∴正比例函数的表达式为y＝2x，反比例函数的表达式为y＝. (2)由 得2x＝， ∴x2＝3.∴x＝±.当x＝－时，y＝－2. ∴点B的坐标为(－，－2)． 说明：这是一道函数综合问题，如有困难教师可以讲解．还可以通过对称性，借助图形进行理解． 教师：建立反比例函数模型来解答实际问题的方法是什么呢？ 引导学生得出：①观察图象法；
②关系式计算法． 三、练习巩固 1．教材第159页“随堂练习”． 2．某学校冬季储煤120吨，若每天用煤x吨，经过y天可以用完． (1)请写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出函数的图象；
(3)当每天的用煤量为1.2～1.5吨时，这些煤可用的天数在什么范围？ 四、小结 1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．建立反比例函数模型来解答实际问题的方法有哪些？ 3．反比例函数与正比例函数的图象相交，两交点关于什么对称？ 五、课外作业 教材第159～160页习题6.4第1～3题． 本节课教学的主要内容是反比例函数的应用，教学过程中要让学生经历从实际问题—建立模型—拓展应用—体会数学的应用价值的过程，培养学生的自主学习及合作学习的能力．但在中考中此节内容考查较简单，所以变式训练要适度. 综合与实践 制作视力表 1．通过测量、比较、计算，发现视力表中蕴含的数学知识． 2．通过小组合作，能借助测试距离为5 m的“E”形图制作出一个测试距离为3 m的“E”形图． 3．通过从数学的角度观察、分析视力表，初步形成“用数学”的意识，体会数学与实际生活息息相关． 重点 探索视力表中蕴含的数学知识． 难点 从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有的知识解决问题． 一、情境导入 教师：视力表对我们来说并不陌生．但你想过吗？视力表中蕴含着一定的数学知识．你知道是什么知识吗？ 教师：本节课我们就来探索视力表中蕴含的奥秘． 二、探究新知 1．课件出示视力表，提出问题：度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的“E”的长a、宽b、空白缺口宽d. 学生独立测量，并把测量结果填在书上的表格中． 教师：观察上表，你发现了什么？视力表中的各“E”形图之间有什么关系？ 学生小组交流讨论，共同归纳：视力表中的各“E”形图都是长与宽相等的图形，如果把视为0.1时的“E”形图作为基本图形，则视力为0.2，0.3，…，2.0时的“E”形图都与基本图形是相似图形． 2．课件出示：
用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤. 取编号为①②的两个“E”，按下图的方式把它们放置在水平桌面上． 如图，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O看去，点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同． 教师：从图中你发现了什么？ 学生小组内讨论，教师点评． 因为①号“E”与②号“E”都水平放置在桌面上，它们与桌面的边缘是垂直的．因此b1∥b2，又P1，P2，O在一条直线上，所以∠O为公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角形相似，得△P1A1O∽△P2A2O. 当人离①号“E”的水平距离l1与人离②号“E”的水平距离l2满足＝时，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同． 3．课件出示：
按照上述方式，将①～⑤各个“E”排列成如图所示的样子． 教师：从图中你能得到什么？ 学生小组内讨论交流汇报答案，教师点评．并进一步讲解：
按照上面大家讨论的结果，可以猜想得出，在D1处用①号“E”测得的视力，与在D2处用②号“E”测得的视力，在D3处用③号“E”测得的视力，在D4处用④号“E”测得的视力，在D5处用⑤号“E”测得的视力都相同． 教师：根据刚才大家讨论出的结论，我们可以据此自己制作视力表． 若一个视力表中的视力为0.1的“E”的长、宽都为60 mm，空白缺口宽为12.5 mm，求视力为0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0时“E”的长、宽、空白缺口宽． 学生独立制作视力表，教师巡视指导． 三、练习巩固 现有一个标准视力表，它要求的测试距离为5 m．根据这个视力表，怎样制作一个测试距离为3 m的视力表？如果要求测试距离为8 m呢？ 四、小结 1．视力表中的各“E”形图之间有什么关系？ 2．如何找视力相同的图形“E”的大小和它的落脚点？ 五、课外作业 到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？它们与我们上面讨论的视力表是一种什么换算关系？整理调查结果并写出调查报告． 本节课，教师从实际问题出发，通过有层次、环环相扣的问题，创设了许多与实际生活有关的问题情境，活跃了课堂气氛，激发了学生的学习和探究兴趣．如开始让学生观察生活中的视力表，再以标准对数视力表为例观察分析这些“E”形图的整体特点，体现了相似、位似知识在生活中的应用等，初步形成对相似图形的整体认识；
再通过为学生测视力引出问题，利用动画制作把实际问题转化为数学问题，引导学生探究每一个“E”形图的特点．教师有效地引导学生从数学的角度、用数学的方法研究实际问题，进而解决实际问题，体现了综合实践课学习的价值．本课以学生的主动参与为基础，以学生的思维发展为目标，让他们懂得如何去自主探究、合作交流．教师给学生提供了较多的空间和时间，各组成员都有机会做汇报展示，小组交流合作探究是本节课最主要的学习方式，学生的主体作用得到充分的发挥． 猜想、证明与拓广 1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验． 2．在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识． 3．在探究过程中，感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法，体会证明的必要性． 4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神． 重点 探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径． 难点 综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论． 一、情境导入 教师：同学们，图片中的人物你们认识吗？对，他是伟大的物理学家——牛顿．他在思考苹果为什么落地的问题时，首先做出了大胆的猜想，最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律．同时也给我们留下了一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现与发明．当然，仅靠大胆的猜想，并不能对问题作出正确的决策和判断，那么，怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广． 二、探究新知 1．感悟猜想 教师：已知一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？ 引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想，首先应怎么做？ (2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？ 学生讨论交流后回答，教师点评，并进一步讲解：
猜想是在对具体事例的研究结论的基础上，通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，要使得猜想合理化，就要通过特例尝试． 2．体会证明 猜想结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍． 教师：你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？ 学生思索、讨论、交流意识到：通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须要经过证明从而体会到证明的必性． 3．学会拓广 教师：由正方形的倍增问题的结论出发，从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发，你能提出新的问题吗？ 学生思考、讨论、交流，分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响． 教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；
拓广就是新一轮的猜想；
拓广就是举一反三、思维的更高境界. 三、举例分析 例1 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤． 学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤．每组可任选一种矩形的长和宽进行研究．然后得出确定的结论，注意解题策略的多样性，小组活动后展示本组的思维成果． 例2 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的一半？ 学生思考、讨论、交流、归纳． 四、练习巩固 1．当矩形满足什么条件时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 2．自学教材第168页“读一读”． 五、小结 1．知识方面：
(1)任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；
(2)任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍． 2．数学思想方法方面：
(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题，常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；
(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究，一般先从特殊开始，然后再到一般． 六、课外作业 教材169～170页习题第1～4题． 在实际教学中，我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住，授课时按部就班，有时显得十分牵强附会．本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚，在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手，力求营造一个轻松愉快的课堂氛围，激发学生的学习兴趣和求知欲．在内容上先从最特殊的正方形的探究入手，让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式．然后循序渐进，通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型，提出和解决了矩形的相关问题．然而，本课题中的具体问题仅是一个展示平台，在教学活动中感悟问题的产生和提出，体会知识的归纳、综合与拓展，领会处理与解决问题的方法与策略，积累一定的数学活动经验，才是本课题教学应追求实现的目标．因此，本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高，努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等，并力求做到人人参与，使不同的学生均有不同的收获． 池塘里有多少条鱼 1．进一步体会概率与统计之间的联系以及用样本去估计总体的统计思想． 2．初步感受统计推断的合理性. 3．发展学生与人合作交流的意识和能力． 重点 结合具体情境，初步感受统计推断的合理性． 难点 进一步体会概率与统计之间的关系． 一、情境导入 教师：要想知道一个鱼缸里有多少条鱼，应怎么办？ 学生：只要数一数就可以． 教师：如果要想知道鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？ 教师：在日常生活中，有些对象可以通过直观数数的方法准确计量，而有些对象由于数量很大，我们无法直接用数数的方法去计量．本节课我们就一起以“池塘里有多少条鱼”为课题，来探索一种科学而有效的方法． 二、探究新知 1．活动一：
教师：首先我们来看一个熟悉的试验：(课件出示) 问题1: 一个口袋中有8个黑球和32个白球，任意摸出一个，摸到黑球的概率有多大？若任意摸出10个，你能推断这10个中可能有几个黑球吗？为什么？ 学生思考回答：球的总个数是40，黑球所占比例为，故任意摸出10个，能推断这10个中可能有2个黑球． 问题2：如果口袋中有8个黑球和若干个白球，不允许将球倒出来数，那么你能估计出其中的白球数吗？请你设计一种方案，试一试． 启发学生思考，小组讨论后可能会引出下列两种方法． 第一种方法：
从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，我共摸了200次，其中有57次摸到黑球． 假设口袋中有x个白球，通过多次试验，可以得出摸出黑球的频率，依此，我们可以估计出从口袋中摸出1个球，它为黑球的概率．解得x≈20. 在学生提出这一个方案后，教师可以提问：为什么要把摸出的球放回口袋中，如果不放回可以吗？ 第二种方法：
利用抽样调查的方法，从口袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回口袋中．不断重复上述过程．我总共摸了20次，黑球数与10的比值的平均数为0.25. 假设口袋中有x个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数比值的“平均水平”，这个“平均水平”应近似等于口袋中黑球的概率．解得x ≈24. 在学生得到上述两种方法后，引导学生讨论：
(1)这两种方法合理吗？两种方法的依据有什么不同？ (第一种方法是利用频率估计概率，第二种方法是利用样本估计总体) (2) 这两种方案计算的结果一样吗？(两种方案的计算结果都是近似值，都有误差) (3)怎样才能获得较为精确的估计值呢？ (保证摸球的随机性，使试验次数尽可能的多，进而求“平均值”，是减小误差的有效方法．当总数较小时，用第一种方法比较精确；
当总数较大时，用第二种方法具有现实意义) 学生对问题的讨论的过程中，看法多种多样，只要有道理教师应给予肯定与鼓励． 2．活动二：
活动内容：分组活动进行摸球试验收集数据． 活动过程：在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同． (1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球数. (学生动手操作，老师巡视指导) 组 估计值 实际值 差值 1 2 3 4 5
学生完成后，分组汇报结果，老师把同学的数据填在表格里，然后，老师继续出示下列问题：
(2)打开口袋，数数口袋中白球的个数，你们的估计值与实际结果一致吗？为什么？ (学生议论计算结果的精确情况) (3)全班交流，看看各组的估计结果是否一致．各组结果与实际情况的差别有多大？ (4)怎样可以使估计结果较为准确？ 3．活动三：
如果口袋中只有若干个白球，没有其他颜色的球，而且无法全部将球倒出来数，那么你如何估计出口袋中的白球数量呢？与同伴交流． 学生分组自由讨论，讨论完成后得出以下方法：
方法1：另外找几个黑球放入口袋就可以了． 方法2：如果没有黑球，将口袋中的几个白球染成黑色． 方法3：给其中几个白球做上了标记． 三、举例分析 例 赤峰某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标记，然后放还，待有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标记，从而估计这个地区有黄羊__________只． 分析：第二次捕捉40只黄羊，并以其中有标记的2只黄羊的比例作整个赤峰某地区有标记的黄羊的比例，据此估计该地区黄羊的数量． 解：估计这个地区有黄羊x只，则 2∶40＝20∶x， x＝400. 即估计该地区有黄羊400只． 四、练习巩固 1．小明想知道自家鱼塘中鱼的数量，他先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮他估计鱼塘中鱼的数量是多少． 2．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了200次，其中50次摸到红球．求口袋中有多少个白球． 五、小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业 1．一个盒子中有6个白球，每次随意取出一个放回再取，重复200次，有40次取出的是白球，其他颜色的球有多少个？ 2．木箱中有6个红球，2个黄球，还有一些蓝球，每次从中随意摸出一个球再放回，共摸100次，其中有15次是红球，4次是黄球，那么蓝球大约有多少个？ 本节课采用“创设情境——探索新知——归纳新知——运用新知”为主线的教学思维过程．在学习过程中充分体现教师引导，学生自主学习的教学理念．根据学生的实际情况，通过试验解决口袋中白球的问题，意在让学生体会研究概率的方法，感受概率与现实生活的联系． 个别小组没有明确试验方向，多数小组采用第一种做法，教师在试验之前可以先引导全体学生分析可行的试验方法，并且各个小组可以在同一时间内用两种方法进行试验，这样学生在做试验的同时会根据数据比较两种方法的优缺点．从而让学生经历从现实世界中抽象出数学模型的过程，使学生感到数学就在我们身边，充分体现了数学源于生活，用于生活．
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